③对5×5棋盘黑白染色后，利用①、②的结论易知至少空5个黑格．
④依次类推，可知对9×9棋盘黑白染色后，至少空9个空格．下图是甲虫爬行的一种方法．
10．在一个6×6的方格棋盘中，将若干个1×1的小方格染成红色．如果随意划掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一个是红色的．那么最少要涂多少个方格?
【分析与解】方法一：显然，我们先在每行、每列均涂一个方格，使之成为红色，如图A所示，但是在图B中，划去3行3列后，剩下的方格没有红色的，于是再将两个方格涂成红色(依据对称性，应将2个方格同时涂成红色)，如图C所示，但是图D的划法，又使剩下的方格没有红色，于是再将两个方格涂成红色(还是由于对称的缘故，将2个方格涂成红色)，得到图E，图E不管怎么划去3行3列，都能使剩下的方格含有红色的． 这时共涂了10个方格．
方法二：一方面，图F表明无论去掉哪三行哪三列总会留下一个涂红的方格．
另一方面，如果只涂9个红色方格，那么红格最多的三行至少有6个红格(否则第三多的行只有1个红格，红格总数≤5+3=8)，去掉这三行至多还剩3个红格，再去掉三列即可将这三个红格也去掉． 综上所述，至少需要将10个方格涂成红色．
11.如图36-1，把正方体的6个表面剖分成9个相等的正方形．现用红、黄、蓝3种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形所染的颜色不同．那么染成红色的正方形的个数最多是多少个?
【分析与解】 如下图所示，它们的对面也同样的染色，这样就有(5+4+2)×2=22(个)方格染色，而且有公共边的正方形颜色不同．
所以，用红色染成的正方形的个数最多是22个．
12. 证明：在6×6×6的正方体盒子中最多可放入52个1×l×4的小长方体，这里每个小长方体的面都要与盒子的侧面平行．
【分析与解】 先将6× 6×6的正方体盒子视为实体，那么6×6×6的正方体可分成216个小正方体，这216个小正方体可以组成27个棱长为2的正方体．我们将这27个棱长为2的正方体按黑白相间染色，如下图所示．
其中有14个黑色的，13个白色的，而一个白色的2×2×2的正方体可以对应的放人4个每个面都与盒子侧面平行的1×l×4的小长方体，所以最多可以放入13×4=52个1×1×4的小长方体．
评注：6×6×6的正方体的体积为216，1×1×4的小长方体的体积为4，所以可放入的小正方体数目不超过216÷4=54个．
13．在8×8的方格表选择8个不相交的2×2小正方形染色．证明：至少存在1个2×2小正方形与所有染色的小正方形都不相交(这里的相交指包含公共方格)．
【分析与解】 考虑到这道题的目标是1个2×2小正方形，所以选择把8×8的方格染上9个2×2的小正方形．
可以均匀的染出3×3=9个2×2的黑色区域，如下图所示：
如果放8个小正方形进去，每个至多和一个黑色区域相交，所以8个小正方形至多与8个黑色区域相交，所以存在一个黑色区域和这8个正方形都不相交。而这个黑色区域就是一个2×2的小正方形．
14．用若干个l×6和1×7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11×12的大长方形，最少要用小长方形多少个?
【分析与解】我们先通过面积计算出最优情况：
11×12=132，设用1×6的小长方形x个，用1×7的小长方形y个，有6x?7x?132．
?x?1?7t解得：?（t为可取0的自然数)，共需x+y=19+t个小长方形．
y?18?6t? (1)当t=0时，即x+y=1+18=19，表示其中的1×6的小长方形只有1个，剩下的18个小长方形都是
l×7的．
大长方形中无论是1行还是1列，最多都只能存在1个l×7的小长方形，所以在大长方形中最多只能无重叠的同时存在16个l×7的小长方形．
现在却存在18个1×7的小长方形，显然不满足；
(2)当t=l时，即x+y=8+12=20，有如下分割满足，所以最少要用小长方形20个．
15．欲将一张方格表中的每个小方格染为红色或蓝色，使得每个与红色小方格有公共边的小方格中恰有一个蓝色小方格，而每个与蓝色小方格有公共边的小方格中恰有一个红色小方格．问上述要求能否在(1)3×3，(2)4×4方格表中实现?
【分析与解】 (1)3×3时不能．
假设能，设中央的格内填上“红”，则A，B，C，D四个格内有且只有一个填“蓝”不失一般性，设A埴“蓝”，从而B、C、D只能“红”
此时E不能填“红”，因为若E填“红”，则在E旁的C，D也是“红”，与题中每个“红”旁恰排一个“蓝”矛盾．
E也不能填“蓝”，因为每个“蓝”旁应恰好排一个“红”，此时E的旁边有c、D两个“红”． 从而出现矛盾，即3×3表不可能．
(2)4×4时能，如下染色即可：
相关推荐：
loading