大地测量坐标系统及其转换

缩放变换 Znew(Zold)SoldSnewOYnew(Yold)Xnew(Xold)

尺度比例因子

m?Snew?SoldSold

?Xnew??Xold???Ynew?(1?m)Yold????Z??Z?new??old

- 9 -

???? ?旋转变换 二维坐标系

xS?BAEFPxT?oD?CyS?yTxT?oB?oE?EB?oE?PF?oCsin??PCcos??ySsin??xScos? yT?oD?EF?EC?CF?oCcos??PCsin??yScos??xSsin?

?xT?xScos??ySsin???yT??xSsin??yScos??x??cos??????y?T??sin?sin???x????cos???y?S当旋转方向相反时（逆时针旋转时）

?xT?xScos(??)?ySsin(??)??yT??xSsin(??)?yScos(??)?x??cos(??)?????y?T??sin(??)

sin(??)??x????cos(??)??y?S- 10 -

三维坐标系

ZnewZold?Z?XXoldYnew?YYoldXnew

旋转矩阵：对右手系逆时针旋转，对左手系顺时针旋转，

否则需要改变旋转角度的符号。

?1?R1(?X)?0??0?0cos?X?sin?X010??sin?X?cos?X???sin?Y??0?cos?Y??sin?Zcos?Z00??0?1??0?cos?Y?R2(?Y)?0??sin?Y??cos?Z?R3(?Z)??sin?Z??0?

?Xnew?Ynew??Z?new

???R3(?Z)R2(?Y)R1(?X???- 11 -

?Xold?)Yold??Z?old???? ?当?X、?Y、?Z均为小角度时，将cos?、sin?分别展开成泰勒级数，仅保留其一阶项，则有：cos??1sin???，舍弃二阶小量，则有：

?1?R3(?Z)R2(?Y)R1(?X)???Z????Y?Z1??X??Y???X?1??

当?X、?Y、?Z不是小角度时，三个旋转矩阵的次序不能交换。当?X、?Y、?Z均为小角度时，不论三个旋转矩阵的次序如何交换，都能够得到上面的结果。

反向矩阵：

为了使用上的方便，有一些坐标系统定义为左手空间直角坐标系。为此，在右手空间直角坐标系和左手空间直角坐标系的变换中，需要改变坐标轴的指向，这个可以通过反向矩阵

来完成。

??1?P1?0??0?0100??0?1???1?P2?0??0?0?100??0?1???1?P3?0??0?0100??0? ?1??利用P1、P2、P3三个反向矩阵，可以分别改变X、Y、Z轴的指向。

旋转矩阵R1R2R3和反向矩阵P1P2P3均为正交矩阵

有下列性质：

R1(?X)?R1(?X)?R1(??X)R2(?Y)?R2(?Y)?R2(??Y)R3(?Z)?R3(?Z)?R3(??Z)

?1T?1T?1T

[R1(?X)R2(?Y)R3(?Z)]TTT?1?R3(?Z)R2(?Y)R1(?X)

?1?1?1?R3(?Z)R2(?Y)R1(?X)?R3(??Z)R2(??Y)R1(??X)P1

-1?P1P2=P2-1P3?1?P3

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