3.1.2 回归分析的基本思想及其初步应用教案

3．1.2 回归分析的基本思想及其初步应用

【教学目标】1.了解相关系数r；2 了解随机误差；3 会简单应用残差分析 【教学重难点】

教学重点：相关系数和随机误差 教学难点：残差分析应用。 【教学过程】

一、设置情境，引入课题

上节例题中，身高172cm女大学生，体重一定是60kg吗？如果不是，其原因是什么？ 二、引导探究，发现问题，解决问题

$?0.849是斜率的估计值，说明身高x每增加1个单位，体1 $y?0.849x?85.712对于b重就 ，表明体重与身高具有 的线性相关关系。

2 如何描述线性相关关系的强弱？ (1)r>0表明两个变量正相关；（2）r<0表明两个变量负相关；

（3）r的绝对值越接近1，表明相关性越强，r的绝对值越接近0，表明相关性越弱。 （4）当r的绝对值大于0.75认为两个变量具有很强的相关性关系。

3 身高172cm的女大学生显然不一定体重是60.316kg,但一般可以认为她的体重接近于60.316kg.

①样本点与回归直线的 ②所有的样本点不共线，而是散布在某一条直线的附近，该直线表示身高与体重的关系的线性回归模型表示y?bx?a??

e是y与$y?bx?a的误差，e为随机变量，e称为随机误差。 ③E(e)=0，D(e)= ?>0.④D(e)越小，预报真实值y的精度越高。 ⑤随机误差是引起预报值$y与真实值y之间的误差之一。

2

$$为截距和斜率的估计值，与a,b的真实值之间存在误差，这种误差也引起$⑥a,by与真实值

y之间的误差之一。 4 思考

产生随机误差项e的原因是什么？

5 探究在线性回归模型中，e是用$y预报真实值y的误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差？如何衡量预报的精度？

μ?y?μ$?a$①D(e)??来衡量随机误差的大小。②ei?yi?μ yi ③eyi?yi?bxiii22μ$$⑤Q(a,b)称为残差平方和，?越小，预报精度越高。

6 思考

当样本容量为1或2时，残差平方和是多少？用这样的样本建立的线性回归方程的预报误差为0吗？ 7 残差分析

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①判断原始数据中是否存在可疑数据；②残差图 ③相关指数R?1?2y)?(y?μiin2?(y?y)ii?12

2

i?1n

2④R越大，残差平方和越小，拟合效果越好；R越接近1，表明回归的效果越好。 8 建立回归模型的基本步骤：

①确定研究对象，明确哪个变量时解释变量，哪个变量时预报变量。 ②画出确定好的解释变量和预报变量得散点图，观察它们之间的关系； ③由经验确定回归方程的类型；

④按一定规则估计回归方程中的参数； ⑤得出结果后分析残差图是否异常。 三、典型例题

例1 下表是某年美国旧轿车价格的调查资料，今以x表示轿车的使用年数，y表示响应的年均价格，求y关于x的回归方程 2 3 4 5 6 7 8 9 10 使用1 年数x 538 484 290 226 204 年均2651 1943 1494 1087 765 价格y（美元） 分析：由已知表格先画出散点图，可以看出随着使用年数的增加，轿车的平均价格在递减，但不在一条直线附近，但据此认为y与x之间具有线性回归关系是不科学的，要根据图的形状进行合理转化，转化成线性关系的变量间的关系。 解：作出散点图如下图

可以发现，各点并不是基本处于一条直线附近，因此，y与x之间应是非线性相关关系.

$?bx$?a$，$?ln$与已学函数图像比较，用$ y?ebx?a来刻画题中模型更为合理，令zy，则zμμ题中数据变成如下表所示： x y 1 7.883 2 7.572 3 7.309 4 6.991 5 6.640 6 6.288 7 6.182 8 5.670 9 5.421 10 5.318 在散点图中可以看出变换的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归模型方程拟合，由表中数据可得r??0.996,r?0.75，认为x与z之间具有线性相关关系，由表中数

$??0.298x?8.165，最后回代z$??0.298,a$?8.165,所以z$?ln$据的by，

即$y?e?0.298x?8.165

四、当堂练习：

1 两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）

A 模型1的R?0.98 B 模型2的R?0.80 C 模型3的R?0.50 D模型4的R?0.25

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答案 A

五、课堂小结

1 相关系数r和相关指数R2 2 残差分析 六、作业布置 课本90页习题3

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