抓住“对边对角”,速解三角形

抓住“对边对角”，速解三角形

一、探究该问题所用到的定理或解论：

1．在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c： 正弦定理：

abc； ???2R(R为?ABC外接圆的半径）

sinAsinBsinC结论：a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC； 结论：S?ABC?111absinC?bcsinA?acsinB； 2222．在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c：

a2?b2?c2余弦定理：c?a?b?2abcosC;cosC?；

2ab2223．辅助角公式：asin??bcos??a2?b2sin(???),其中tan??b，一般地， a0????2，tan??3????3;tan??1????4;tan??3????。 36二、具体问题探究：

例 在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若C??3（2）?ABC周长的最大值；（3）2a?b的取值范围。 ?ABC面积的最大值；

,c?8。求：

解析：（1）因为要求的是?ABC的面积，题设中知道C?角形的面积公式S?ABC??3,c?8，所以，要用到三

1absinC，接下来用余弦定理求出ab的最大值即可。 2详解：在?ABC中，C?222?3,c?8，

2222所以c?a?b?2abcosC?64?a?b?ab?64?ab?a?b?2ab

?64?ab?2ab?ab?64?S?ABC?133absinC?ab??64?163。 244（?a?0,b?0）当且仅当a?b时“=”号成立，即该三角形为等边三角形时， 所以，?ABC面积的最大值是163。 （2）法1：在?ABC中，C?222?3,c?8，

222（a?b)?3ab 所以c?a?b?2abcosC?64?a?b?ab?64?(a?b)2(a?b)2?（a?b)?64?3ab?3???64?(a?b)2?4?64?a?b?16442（?a?0,b?0）当且仅当a?b时“=”号成立，即该三角形为等边三角形时

（a?b)max?16。所以?ABC周长的最大值是24.

法2：在?ABC中，2R?c16?， sinC3???a?b?2RsinA?2RsinB?2R(sinA?sinB)?2R?sinA?sin(A?)?3??

131633??2R(sinA?sinA?cosA)?(sinA?cosA)?16sin(A?)222632?C??3?0?A?2???2? ??A??3663?16sin??16sin(A?)?16sin?8?16sin(A?)?16，

6626????(a?b)max?16，c?8，所以三角形ABC的周长最大值为24.

（3）在?ABC中，2R?c16? sinC3??13?2a?b?4RsinA?2RsinB?2R?2sinA?sin(A?)??2R(2sinA?sinA?cosA)3?22?33??2R(sinA?cosA)?16sin(A?)

226?C??3?0?A?2???????A??, 3662所以，?8?16sin(A??6)?16，即?8?2a?b?16.

所以，2a?b的取值范围是（-8,16）。

变式训练1：在锐角?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若C??3,c?8。求：

2a?b的取值范围。

分析：注意该变式中是在锐角?ABC中研究解决问题。 解析：在锐角?ABC中，2R?c16? sinC3??13?2a?b?4RsinA?2RsinB?2R?2sinA?sin(A?)??2R(2sinA?sinA?cosA)322??33??2R(sinA?cosA)?16sin(A?)

226?C??3??6?A??2?0?A??6??3,

所以，0?16sin(A??6)?83，即0?2a?b?83.

所以，2a?b的取值范围是(0,83)。

变式训练2：在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若C?求：2a?b的取值范围。

分析：注意，该变式中也不一定是锐角三角形了，而是a?c。

解析：在?ABC中，2R??3,c?8，a?c。

c16? sinC3??13?2a?b?4RsinA?2RsinB?2R?2sinA?sin(A?)??2R(2sinA?sinA?cosA)3?22?33??2R(sinA?cosA)?16sin(A?)

226?C??3??3?A?2??????A??, 3662所以，8?16sin(A??6)?16，即8?2a?b?16.

所以，2a?b的取值范围是（8,16）。

三、结论探究：

在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若已知c边与C角。求： （1）?ABC面积的最大值；（2）?ABC周长的最大值。 分析：由三角形中的余弦定理与基本不等式解决处理问题。

c?a?b?2abcosC?c?2abcosC?a?b?2ab解析：（1）在?ABC中，（当

且仅当a?b时“=”成立）

c2c?2abcosC?2ab?2ab?2abcosC?c?2ab(1?cosC)?c?2ab?1?cosC所以， cc2sincos22211ccsinCc22?S?ABC?absinC???sinC????222(1?cosC)41?cosC41?(1?2sin2c)2222222222c222ccc2c2?所以，S?ABC?，即(S?ABC)max?。 ??cccc4sin4tan24tan24tan22422cos（2）在?ABC中，

c2?a2?b2?2abcosC?c2?(a?b)2?2ab?2abcosC

所以(a?b)?c?2ab(1?cosC)

22(a?b)2因为，ab?（当且仅当a?b时“=”成立）

4(a?b)21?cosC??(a?b)2 所以，(a?b)?c?2ab(1?cosC)?2(1?cosC)?4222c2c2c21?cosC222?? ?(1?)?(a?b)?c?(a?b)?1?cosCCC21?1?cos2sin2222因为，a,b,c?R,sin所以，a?b??C?0 2cCsin2，即，(a?b)max?cCsin2。

所以，周长的最大值为：c?cCsin2。

一、结论体验：

1、在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若C?大值为 ；周长的最大值为 ； 2、在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若C?大值为 ；周长的最大值为 ； 3、在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若B?是 。 二、课后加强训练：

1．已知锐角?ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，向量

2?,c?6。则该三角形面积的最3?6,c?4。则该三角形面积的最

2?,b?6。则a?c的取值范围3CC????m??2cos,?sinC?,n??cos,2sinC?，且m?n．

22????（1）求角C；

（2）求?ABC面积的最大值； （3）求a?b的取值范围；

（4）求（5）求

a?b的取值范围； c1的范围。 a?b2三、总结：这类问题在各种考试是常出题型，在教学中引导学生推导与总结，在学生学习中

可起到事半功倍的作用。