例 33 2014年湖南省永州市中考第25题
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A(－1, 0)，B(4, 0)两点，与y轴交于点C(0, 2)．点M(m, n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）当S△MFQ∶S△MEB＝1∶3时，求点M的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14永州25”，拖动点M在抛物线左半侧上运动，观察面积比的度量值，可以体验到，存在两个时刻，△MEB的面积等于△MFQ面积的3倍．
思路点拨
1．设交点式求抛物线的解析式比较简便．
2．把△MFQ和△MEB的底边分别看作MQ和ME，分别求两个三角形高的比，底边的比（用含m的式子表示），于是得到关于m的方程．
3．方程有两个解，慎重取舍．解压轴题时，时常有这种“一石二鸟”的现象，列一个方程，得到两个符合条件的解．
图文解析
（1）因为抛物线与x轴交于A(－1, 0)，B(4, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－4)． 代入点C(0, 2)，得2＝－4a．解得a??．所以
121131325y??(x?1)(x?4)??x2?x?2??(x?)2?．
222228325顶点坐标为(，)．
28（2）如图2，已知M(m, n)，作MN⊥x轴于N．
FQnmnFQMN由，得．所以FQ=． ==m4?m4?mMQBN因为抛物线的对称轴是直线x?33，所以ME＝2(?m)?3?2m． 221m2n11mn由于S△MFQ＝FQ?MQ＝?， ?m＝?24?m224?m11S△MEB＝ME?MN＝(3?2m)n，
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m2n所以当S△MFQ∶S△MEB＝1∶3时，∶(3?2m)n＝1∶3．
4?m整理，得m2＋11m－12＝0．解得m＝1，或m＝－12． 所以点M的坐标为(1, 3)或(－12,－88)．
图2
考点伸展
第（2）题S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，何需点M一定要在抛物线上？ 从上面的解题过程可以看到，△MFQ与△MEB的高的比底边的比
FQm与n无关，两条=MN4?mMQm也与n无关． =ME3?2m如图3，因此只要点E与点M关于直线x＝
3对称，点M在直线的左侧，且点M不在2坐标轴上，就存在S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，点M的横坐标为1（如图3）或－12（如图4）．
图3 图4
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§1．6 因动点产生的相切问题
课前导学
一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形．
解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、r、d，第二步分类列方程，第三步解方程并验根．
第一步在罗列三要素R、r、d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况．
二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．
解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根．
第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d＝R列方程．
如图1，直线y?4x?4与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆O的半径为1，点C在3y轴的正半轴上，如果圆C既与直线AB相切，又与圆O相切，求点C的坐标．
“既……，又……”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个．
假设圆C与直线AB相切于点D，设CD＝3m，BD＝4m，BC＝5m，那么点C的坐标为(0,4－5m)．
罗列三要素：对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；圆心距OC＝4－5m． 分类列方程：两圆外切时，4－5m＝3m＋1；两圆内切时，4－5m＝3m－1．
把这个问题再拓展一下，如果点C在y轴上，那么还要考虑点C在y轴负半轴． 相同的是，对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；不同的是，圆心距OC＝5m－4．
图1
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例 42 2014年湖南省衡阳市中考第27题
如图1，直线AB与x轴交于点A(－4, 0)，与y轴交于点B(0, 3)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动．同时将直线y?3x以每秒0.6个单位长度4的速度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为t（0＜t＜5）秒．
（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；
（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14衡阳27”，拖动点P运动，可以体验到，当平行四边形ACDP是菱形时，圆D与直线AB恰好相切．
思路点拨
1．用含t的式子把线段OD、OC、CD、AP、AC的长都可以表示出来． 2．两条直线的斜率相等，这两条直线平行．
3．判断圆与直线的位置关系，就是比较圆心到直线的距离与半径的大小．
图文解析
（1）如图2，由A(－4, 0)、B(0, 3)，可得直线AB的解析式为y?3x?3． 4所以直线AB//CD．
在Rt△OCD中，OD∶OC＝3∶4，OD＝0.6t，所以OC＝0.8t，CD＝t． 所以AP＝CD＝t．所以四边形ACDP总是平行四边形． （2）如图3，如果四边形ACDP为菱形，那么AC＝AP． 所以4－0.8t＝t．解得t＝此时OD＝0.6t＝
20． 9445．所以BD＝3?＝． 333作DE⊥AB于E．
454在Rt△BDE中，sinB＝，BD＝，所以DE＝BD·sinB＝．
533因此OD＝DE，即圆心D到直线AB的距离等于圆D的半径． 所以此时圆D与直线AB相切于点E（如图4）．
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