§2．1 由比例线段产生的函数关系问题
课前导学（一）
图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．
产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．
由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用． 类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A的坐标为(3, 4)，点B是x轴正半轴上的一个动点，设OB＝x，AB＝y，那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y关于x的函数关系式．
类型二，图形的翻折．已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示，AB＝5，点O沿直线EF翻折后，点O的对应点D落在AB边上，设AD＝x，OE＝y，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式．
图1 图2
由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．
一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．
一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．
关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．
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课前导学（二）
图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题． 计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．
前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．
一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S取得最大值或最小值．
关于面积的最值问题，有许多经典的结论．
例1，周长一定的矩形，当正方形时，面积最大． 例2，面积一定的矩形，当正方形时，周长最小．
例3，周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆．
例4，如图1，锐角△ABC的内接矩形DEFG的面积为y，AD＝x，当点D是AB的中点时，面积y最大．
例5，如图2，点P在直线AB上方的抛物线上一点，当点P位于AB的中点E的正上方时，△PAB的面积最大．
例6，如图3，△ABC中，∠A和对边BC是确定的，当AB＝AC时，△ABC的面积最大．
图1 图2 图3
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例 1 2014年湖南省常德市中考第26题
如图1，图2，已知四边形ABCD为正方形，在射线AC上有一动点P，作PE⊥AD（或延长线）于E，作PF⊥DC（或延长线）于F，作射线BP交EF于G．
（1）在图1中，正方形ABCD的边长为2，四边形ABFE的面积为y，设AP＝x，求y关于x的函数表达式；
（2）GB⊥EF对于图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明； （3）请根据图2证明：△FGC∽△PFB．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“14常德26”，拖动点P在射线AC上运动，可以体验到，EM和FN把正方形ABCD分割成了两个正方形和两个全等的矩形，B、C、G、F四点共圆．
思路点拨
1．四边形ABFE可以用大正方形减去两个直角三角形得到．
2．画直线EP、FP，把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形．
图文解析
（1）如图3，延长EP交BC于M，延长FP交AB于N，那么四边形AEPN和四边形CFPM是正方形．
由AP＝x，可得正方形AEPN的边长为由于S△DEF＝
22x． x．所以FC＝DE＝2?221221211S△BCF＝BC?FC＝?2?(2? x(2?x)，x)，DF?DE＝?22222222221x(2?x)－(2?x)＝x2+2． 4224所以y＝S四边形ABFE＝S正方形ABCD－S△DEF－S△BCF
＝4－
图3 图4
（2）如图4，因为tan∠EFP＝
PENP，tan∠PBN＝，且PE＝NP，PF＝NB，所以 PFNB∠EFP＝∠PBN．
又因为∠1＝∠2，∠1＋∠PBN＝90°，所以∠2＋∠EFP＝90°．所以GB⊥EF．
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（3）如图5，由于GB⊥EF，∠BCF＝90°，所以B、C、G、F四点共圆． 所以∠FCG＝∠PBF，∠CGB＝∠CFB．
又因为∠CGF＝∠CGB＋90°，∠BFP＝∠CFB＋90°，所以∠CGF＝∠BFP． 所以△FGC∽△PFB．
图5 图6 图7
考点伸展
如图6， 由于tan∠EFP＝tan∠PBN， 所以∠EFP＝∠PBN． 又因为∠PBN＋∠1＝90°，所以∠EFP＋∠1＝90°． 因此这种情况下，依然有BG⊥EF．
第（1）题还有更简便的割补办法：如图7，连结EN．
11NF(EP?MP)?NF?EM?2， 22111S△AEN＝AP2?x2，所以y＝S四边形ABFE＝S四边形NBFE＋S△AEN＝x2+2．
444由于S四边形NBFE＝S△ENF＋S△BNF＝
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