例 1 2014年湖南省长沙市中考第25题
在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），(－2,－2)，，…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个． （2，2）（1）若点P(2, m)是反比例函数y?n（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求x这个反比例函数的解析式；
（2）函数y＝3kx＋s－1（k、s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；
（3）若二次函数y＝ax2＋bx＋1（a、b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A(x1, x1)、B(x2, x2)，且满足－2＜x1＜2，| x1－x2|＝2，令t?b2?2b?围．
157，试求t的取值范48动感体验
请打开几何画板文件名“14长沙25”，拖动y轴正半轴上表示实数a的点，可以体验到，A、B两点位于y轴同侧，A、B两点间的水平距离、竖直距离都是2，并且对于同一个a，有两个对应的b和b′，但是t随b、t随b′变化时对应的t的值保持相等．
思路点拨
1．“梦之点”都在直线y＝x上．
2．第（2）题就是讨论两条直线的位置关系，分重合、平行和相交三种情况．
3．第（3）题放弃了也是明智的选择．求t关于b的二次函数的最值，b的取值范围由“梦之点”、－2＜x1＜2和| x1－x2|＝2三个条件决定，而且－2＜x1＜2还要分两段讨论．
图文解析
（1）因为点P(2, m)是“梦之点”，所以P(2, 2)．所以y?
4． x
（2）“梦之点”一定在直线y＝x上，直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x的位置关系有重合、平行、相交．
图1 图2 图3
①如图1，当直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x重合时，有无数个“梦之点”．此时k＝，s＝1．
②如图2，当直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x平行时，没有“梦之点”．此时k＝，s≠1．
③如图3，当直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x相交时，有1个“梦之点”．
此时k≠，“梦之点”的坐标为(1313131?s1?s,)． 3k?13k?1- 65 -
（3）因为A(x1,x1)、B(x2,x2)两点是抛物线与直线y＝x的交点，联立y＝ax2＋bx＋1和 y＝x，消去y，整理，得ax2＋(b－1)x＋1＝0．
所以x1x2＝
1＞0．所以A、B两点在y轴的同侧． a如图4，由| x1－x2|＝2，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离都是2． 已知－2＜x1＜2，我们分两种情况来探求a的取值范围：
①当A、B两点在y轴右侧时，0＜x1＜2，2＜x2＜4．所以0＜x1x2＜8．
②当A、B两点在y轴左侧时，－2＜x1＜0，－4＜x2＜－2．所以0＜x1x2＜8． 综合①、②，不论0＜x1＜2或－2＜x1＜0，都有0＜x1x2＜8． 所以0＜
11＜8．所以a＞． a81?b1，x1x2＝． aa由ax2＋(b－1)x＋1＝0，得x1＋x2＝
由| x1－x2|＝2，得(x1－x2)2＝4．所以(x1＋x2)2－4x1x2＝4．
(1?b)2422所以．整理，得(1?b)?4a?4a． ??4a2a15710910961所以t?b2?2b?＝(b?1)2?＝4a2?4a?＝(2a?1)2?．
484848481如图5，这条抛物线的开口向上，对称轴是直线a??，在对称轴右侧，t随a的增大
2116117而增大．因此当a?时，t取得最小值，t＝(?1)2?＝．
8448617所以t的取值范围是t＞．
6
图4 图5
考点伸展
第（3）题我们也可以这样来讨论：
一方面，由| x1－x2|＝2，得(x1－x2)2＝4．所以(x1＋x2)2－4x1x2＝4．
(1?b)24所以??4．整理，得(1?b)2?4a2?4a． 2aa另一方面，由f(2)＞0，f(－2)＜0，得f(2)f(－2)＜0． 所以[4a?2(b?1)?1][4a?2(b?1)?1]＜0．
所以(4a?1)2?4(b?1)2＝(4a?1)2?4(4a2?4a)＝1?8a＜0．所以a＞．
18- 66 -
例 2 2014年湖南省怀化市中考第23题
设m是不小于－1的实数，使得关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
111的值； ??1，求
x1x23?2mmx1mx2（2）求??m2的最大值．
1?x11?x2（1）若
动感体验
请打开几何画板文件名“14怀化23”，拖动x轴上表示实数m的点运动，可以体验到，当m小于1时，抛物线与x轴有两点交点A、B．观察点D随m运动变化的图像，可以体验到，当m＝－1时，点D到达最高点．
思路点拨
1．先确定m的取值范围，由两个条件决定．
2．由根与系数的关系，把第（1）题的已知条件转化为关于m的方程．
3．第（2）题首先是繁琐的式子变形，把m提取出来，可以使得过程简便一点．
图文解析
（1）因为方程x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0有两个不相等的实数根，所以?＞0． 由?＝4(m－2)2－4(m2－3m＋3)＝－4m＋4＞0，得m＜1． 又已知m是不小于－1的实数，所以－1≤m＜1．
由根与系数的关系，得x1?x2??2(m?2)??2m?4，x1?x2?m2?3m?3． 若
112??1，那么x1?x2?x1?x2．所以?2m?4?m?3m?3． x1x21?51+5，或m?（舍去）． 2211所以3?2m?3?(1?5)?5?2．所以＝＝5?2．
3?2m5?2整理，得m2?m?1?0．解得m?（2）
?x??x(1?x2)?x2(1?x1)?mx1mx2x??m2＝m?1?2?m?＝m?1?m? 1?x11?x2?1?x11?x2??(1?x1)(1?x2)??(x1?x2)?2x1x2??(?2m?4)?2(m2?3m?3)?＝m? ?m?＝m??m?2?1?(?2m?4)?m?3m?3??1?(x1?x2)?x1x2???2m2+4m?2???2(m?1)2?＝m?＝ ?mm?m???2?m?m??m(m?1)?＝?2m?2?m2＝?(m?1)2?3．
所以当m＝－1时，它有最大值，最大值为3（如图1所示）．
图1
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考点伸展
当m变化时，抛物线y＝x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0的顶点的运动轨迹是什么？ 因为抛物线的对称轴是直线x＝－(m－2)，所以抛物线的顶点的纵坐标
y＝(m－2)2－2(m－2)2＋m2－3m＋3＝m－1．
因为x＋y＝－(m－2)＋m－1＝1为定值，所以y＝－x＋1．
也就是说，抛物线的顶点(x, y)的运动轨迹是直线y＝－x＋1（如图2所示）．
图2
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