?23?? 最大切应力
?2??32??5??等效应力：12?(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?3J2 ＝
700
应力偏张量：
??20?30?10?????40?ij???030??20????100?3??
1?(?????)1103(20?0?10)m＝3123?＝3 故
???x?203??y??403
应力球张量：
?10?00??3??10?030???10???z?20??3?003??
9. 某受力物体内应力场为：?x??6xy2?c1x3， ?y??32c2xy2，z??yz??zx?0，
试从满足平衡微分方程的条件中求系数 c1、c2、c3。
xy??c2y3?c3x2y，
1
? ?
解
??x??6y2?3c1x2;??y??y?y??3c2xy????yxxy??3cy2?cx223??yx??2c3y
?
由平衡微分条件：
2222??????6y?3cx?3cy?cx?0?????yxzy12zxxz3?z????0????y??z2c3xy?x?3c2xy?x?0?z
?c1?1???c2??2?c?3?3
思考与练习15
1. 陈述下列术语的物理含义：位移，位移分量，线应变，工程切应变，对数应变，主应变，主切应变，最大切应变，应变张量不变量，等效应变，应变增量，应变速率，位移速度。
答：位移：变形体内质点M（x，y，z）变形后移动到M1，我们把它们在变形前后的直线距离称为位移； 位移分量：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为该点的位移分量； 线应变：表示线元的单位长度的变化；
工程切应变：单元体在某一平面内发生了角度的变化；
对数应变：对数应变真实反映变形的累积过程，表示在应变主轴不变的情况下应变增量的总和； 主应变：发生在主平面单位面积上的内力称为主应力； 主切应变：发生在主切平面上的应变；
最大切应变：主切应变中绝对值最大的一个称为最大切应变
应变张量不变量：对于一个确定的应变状态，主应变只有一组值，即主应变具有单值性。由此，应变张量
I1、
I2、
I3也应是单值的，所以将
I1、
I2、
I3称为应变张量不变量。
等效应变：一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸或压缩方向上的线应变变。
?1。等效应变又称广义应
应变增量：塑性变形是一个大变形过程，在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于该瞬时的应变增量
1
应变速率：单位时间内的应变称为应变速率。 位移速度：质点在单位时间内的位移叫做位移速度。
2. 如何完整地表示受力物体内一点的应变状态？
答：质点的三个互相垂直方向上的9个应变分量确定了该店的应变状态。已知这9个应变分量组成一
??x??ij???yx??zx?ij?个应变张量，用表示，则
态。
?xy?xz???y?yz??zy?z??，
?ij即可完整的表示受力物体内的应变状
3. 应变偏张量和应变球张量代表什么物理意义？
答：应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量，应变偏张量表示单元体形状变化，应变球张量表示单元体体积变化。
4. 应变张量和应变偏张量有何关系？
答：应变张量与应力张量具有同样的性质，主要有：
（1）存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有主应变而无切应变。用应变，则主应变张量为
?1、?2、?3表示主
??100????ij??0?20??00??3??
主应变可由应变状态特征方程
?3?I1?2?I2??I3?0
求得。
（2）存在三个应变张量不变量
I1、
I2、
I3，且
I1??x??y??z??1??2??3I2??[(?x?y??y?z??z?x)?(?xy??yz??zx)]??(?1?2??2?3??3?1)222?x?xy?xz?100I3??yx?y?yz?0?20??1?2?3?zx?zy?z00?3对于塑性变形，由体积不变条件，
?
I1?0
（3）在与主应变方向成45方向上存在主切应变，其大小为
?12??(?1??2)12，
?23??(?2??3)12，
?31??(?3??1)12
若
?1≥?2≥?3，则最大切应变为
1
（4）应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量
?max??(?1??3)12??x??m??ij???yx???zx???ij?m??ij?xy?xz???m00?????y??m?yz???0?m0????zy?z??m???00?m?
式中，
?m?(?x??y??z)??ij13为平均应变；
为应变偏张量，表示变形单元体形状变化；
?ij?m为应变球张量，表示变形单元体体积变化。
（5）存在应变张量的等效应变
??2222(?x??y)2?(?y??z)2?(?z??x)2?6(?xy??yz??zx)3 2?(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)23
26I2=3
等效应变的特点是一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变又称广义应变，在屈服准则和强度分析中经常用到它。
（6）与应力莫尔圆一样，可以用应变莫尔圆表示一点的应变状态。设已知主应变
?1。等效应变
?1、?2
p2(???????和3的值，且1>2>3，可以在
p3(平面上，分别以
p1(?1??22，0)、
?1??32，0)、
?2??32，0)为圆心，以
r1??1??22、
r2??1??32、
r3??2??32为半径画三个圆。
5. 小应变几何方程和变形协调方程各如何表示？它们有何意义？ 答：小应变几何方程：
1?u?v??u????(?)?xyyx?x?2?y?x?x?1?v?w??v?yz??zy?(?)??y?2?z?y??y1?w?u??w????(?)??z?zxxz2?x?z? ?z
1
物理意义：表示小变形时位移分量和应变分量之间的关系，是由变形几何关系得到的，称为小应变几何方程，又称柯西几何方程。如果物体中的位移场已知，则可由上述小应变几何方程求得应变场。
变形协调方程：
物理意义：只有当应变分量之间满足一定的关系时，物体变形后才是连续的。否则，变形后会出现“撕裂”或“重叠”，变形体的连续性遭到破坏。
6. 速度分量、位移增量、应变增量和应变速率增量是如何定义的？
答：速度分量：在塑性变形过程中，物体内各质点以一定的速度运动，形成一个速度场。将质点在单位时间内的位移叫做位移速度，它在三个坐标轴方向的分量叫做位移速度分量，简称速度分量；
位移增量：物体在变形过程中，在某一极短的瞬时dt，质点产生的位移改变量称为位移增量； 应变增量：塑性变形是一个大变形过程，在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于该瞬时的应变增量；
应变速率增量：单位时间内的应变称为应变速率，又称变形速度。在时间间隔dt内产生的应变应变速率增量。
8. 平面应变状态、轴对称应力状态各有什么特点？ 答：平面变形状态下的应力状态有如下特点：
⑴没有变形的z方向为主方向，该方向上的切应力为零，z平面为主平面，
?2?x????zx??xy??yz(??)???x?y?z?x?y?z??2?y????xy??yz??zx?(??)???y?z?x?y?z?x??2?z????yz??zx??xy?(??)??z?x?y?z?x?y??d?ij为
?z为中间主应力，在塑性
状态下，
?z等于平均应力，即
?z??2?(?x??y)??m12
⑵由于应力分量同。
?x?y?xy、
、
沿z轴均匀分布，与z轴无关，所有平衡微分方程与平面应力问题相
⑶如果处于变形状态，发生变形的z平面即为塑性流动平面，平面塑性应变状态下的应力张量可写成：
??x?xy?ij????yx?y?00???x??y?20????0????yx?z????0???xy??x??y20?0????m00????0???0?m0???00?m???0???
1
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