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用求导的方法解小船过河极值问题
作者：贾昱 陈秋雁
来源：《中学物理·高中》2015年第04期
小船渡河问题是考察运动合成和分解规律实际运用的好素材，目前主流的解题方法是利用匀速直线运动时，速度和位移方向相同的几何关系求解的.由于几何方法求解此类问题，特别是流速大于船速的情况，会造成学生理解上一定的困难.对此，笔者通过求导的方法对渡河问题的极值进行求解，以期给大家的理解能带来一定帮助.下面给出推导过程，题目如下： 已知小船在静水中的速度为v1，小船要度过宽为L的小河到对岸，河水的流速处处相等，大小为v2，小船在小河中的合速度为v，
1.当河水的流速大于船速，即v2>v1时，求小船过河的最短位移. 2.当河水的流速小于船速，即v2 3.求小船过河的最短时间.
解析 目前主流的方法解这道题是作圆并画辅助线的方法，如图1所示，当小船在河水中的合速度v与小船速度v1为半径的圆相切时，小船的位移OA相对于OB和OC等其他位移最短，此时v⊥v1，θ为船速v1与河岸的夹角，所以
在实际教学中，学生对这种情况的几何求解方法存在一定的理解困难，产生对其结果正确性的怀疑.
现用数学方法推导如下：
如图2，小船在河水中合速度的横向分量为小船在静水中的横向分速度与河水流速之差，大小为vx=v2-v1cosθ，
小船在河水中合速度的纵向分量为小船在静水中的纵向分速度，大小为
虽然推导过程比较繁琐，但从以上推导可以证明，几何方法求解这类问题的正确性.希望本文给大家在这类问题的教学上有所帮助，而喜欢探究的学生也可以得到更加全面，深刻的理解.
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