所以X的分布列为 X P 20 0.04 21 0.16 22 0.32 23 0.32 24 0.16 E(X)＝20×0.04＋21×0.16＋22×0.32＋23×0.32＋24×0.16＝22.4. (3)因为m＋n＝28，n∈{5，6}，所以若m＝22，n＝6， 则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 22×80＋200×0.32＋400×0.16＋6×160＝2 848. 若m＝23，n＝5，
则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 23×80＋200×0.16＋5×160＋400×0.4＝2 832. 故m，n的值分别为23，5.
4．某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜．根据过去50周的资料显示，该地周光照量X(单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y(千克)与使用某种液体肥料的质量x(千克)之间的关系为如图所示的折线图．
(1)依据折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明(精确到0.01)；(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)
(2)蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：
周光照量X(单位：小时) 光照控制仪运行台数 30
n? （xi－x）（yi－y）
i＝1
附相关系数公式：r＝nn2
，
? （xi－x）
i＝1
? （yi－y）2
i＝1
参考数据：0.3≈0.55，0.9≈0.95.
解：(1)由已知数据可得x＝5
2＋4＋5＋6＋83＋4＋4＋4＋5
＝5，y＝＝4.
55
因为? (xi－x)(yi－y)＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，
i＝1
5
? （xi－x）2＝
i＝15
（－3）＋（－1）＋0＋1＋3＝25，
22222
? （yi－y）2＝
i＝1
（－1）＋0＋0＋0＋1＝2，
22222
5
? （xi－x）（yi－y）
i＝1
所以相关系数r＝5
5
2
＝
＝
25×2
6
9
≈0.95. 10
? （xi－x）
i＝1
? （yi－y）2
i＝1
因为|r|>0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪． ①安装1台光照控制仪可获得周总利润3 000元． ②安装2台光照控制仪的情形：
当X>70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y＝3 000－1 000＝2 000(元)，P(Y10
＝2 000)＝＝0.2，
50
当30 ＝6 000)＝＝0.8， 50 故Y的分布列为 Y P 2 000 0.2 6 000 0.8 所以E(Y)＝2 000×0.2＋6 000×0.8＝5 200(元)． ③安装3台光照控制仪的情形： 当X>70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润 Y＝1×3 000－2×1 000＝1 000(元)． P(Y＝1 000)＝＝0.2. 当50≤X≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润 1050 Y＝2×3 000－1×1 000＝5 000(元)， P(Y＝5 000)＝＝0.7， 当30 ＝ ＝0.1， 50 故Y的分布列为 3550 Y P 1 000 0.2 5 000 0.7 9 000 0.1 所以E(Y)＝1 000×0.2＋5 000×0.7＋9 000×0.1＝4 600(元)． 综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪．
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