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（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题12 选修系列 第82练
矩阵与变换练习 理
训练目标 了解简单矩阵与变换的思想与应用． 训练题型 (1)矩阵运算及逆矩阵的应用；(2)变换的应用；(3)特征值与特征向量的应用． 解题策略 根据教材上相关内容，理解记忆，无需追求难度，掌握基本概念即可. 1．(2016·苏北四市一模)已知矩阵A＝?
?1 ?－1
2?4?
?，求矩阵A的特征值和特征向量．
?2??a
2．(2016·南通、扬州、淮安、连云港二模)已知??是矩阵M＝?
?3??3
实数a的值．
2?2?
?的一个特征向量，求
? 1?
3．(2016·南通二模)已知二阶矩阵M有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e1＝??，且
?－1?
M??＝??.求矩阵M.
4．(2016·南京三模)已知矩阵A＝?
1
?1??3??1??1?
?a ?0
k?
? k?－
?(k≠0)的一个特征向量α＝??，A的逆矩阵A1??－1?
对应的变换将点(3,1)变为点(1,1)．求实数a，k的值．
?2
5．(2016·宿迁三校调研)已知矩阵A＝?
?1
(1)求实数b的值；
b?
? 1?
?属于特征值λ的一个特征向量为a＝??. 3??－1?
2
2
(2)若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C′：x＋2y＝2，求曲线C的方程．
?a
6．(2016·南京、盐城一模)设矩阵M＝?
?2
的方程为x＋y＝1，求曲线C的方程． 1
2
2
0?1?
?的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下
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答案精析
1．解 矩阵A的特征多项式
?λ－1 －2?2
f(λ)＝??＝λ－5λ＋6，
?1 λ－4?
由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.
??x－2y＝0，
当λ＝2时，特征方程组为?
?x－2y＝0，?
故属于特征值2的一个特征向量 α1＝??；
??2x－2y＝0，
当λ＝3时，特征方程组为?
?x－y＝0，?
?2?
?1?
故属于特征值3的一个特征向量
α2＝??.
?1??1?
?2?
2．解 设??是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，
?3?
则?
?a ?3
2??2?
?2?＝λ?????， 2??3??3?
??2a＋6＝2λ，故?
?12＝3λ，?
??λ＝4，
解得?
?a＝1.?
3．解 设M＝?
?a
?c
b?
?， d?
?a 则由?
?c b?? 1?? 1????＝??， d??－1??－1?
??a－b＝1，得?
?c－d＝－1.?
??a＋b＝3，?a b??1??3?再由????＝??，得?
??c d??1??1??c＋d＝1.
联立以上方程解得 2
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a＝2，b＝1，c＝0，d＝1，
?2 故M＝?
?0
1?1?
?.
? k?
?对应的特征值为λ， ?－1?
4．解 设特征向量α＝?
?a 则??0
即?
k?? k?
? k?
???＝λ??， 1??－1??－1?
?ak－k＝λk，???λ＝1.
因为k≠0，所以a＝2.
?3??1?因为A??＝??，
?1??1?
－1
?1??3?所以A??＝??，
?1??1??2 即??0
k??1??3?
???＝??， 1??1??1?
所以2＋k＝3，解得k＝1. 综上，a＝2，k＝1.
?2
5．解 (1)因为矩阵A＝?
?1 ?2 所以?
?1
即?
b?
? 1?
?属于特征值λ的一个特征向量为a＝??， 3??－1?
b?? 1?
? 1?
???＝λ??， 3??－1??－1?
?2－b?? λ??＝??. ?－2??－λ?
??2－b＝λ，从而?
?－2＝－λ.?
解得b＝0，λ＝2.
(2)由(1)知，A＝?
?2
?1
0?3?
?.
设曲线C上任一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用后变为曲线C′上一点P(x0，y0)，
3
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?x0??2 则??＝??y0??1
0??x?
? 2x????＝??， 3??y??x＋3y?
??x0＝2x，从而?
?y0＝x＋3y.?
22
2
2
因为点P在曲线C′上，所以x0＋2y0＝2， 即(2x)＋2(x＋3y)＝2， 从而3x＋6xy＋9y＝1.
所以曲线C的方程为3x＋6xy＋9y＝1.
6．解 由题意，知矩阵M的特征多项式为f(λ)＝(λ－a)(λ－1)，因为矩阵M有一个特征值为2，所以f(2)＝0，所以a＝2.设曲线C上任一点的坐标为(x，y)，其在矩阵M的变换下的对应点的坐标为 (x′，y′)． 所以M??＝?
2
2
22
?x??2 ?y??2
0??x?
?x′?＝?????， 1??y??y′?
??x′＝2x，即?
?y′＝2x＋y，?
因为曲线C在矩阵M变换下的方程为
x2＋y2＝1，
所以(2x)＋(2x＋y)＝1，
即曲线C的方程为8x＋4xy＋y＝1.
2
2
2
2
4
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