2020年高考数学一轮复习精品教学案5.1 平面向量的概念及其线性
运算（新课标人教版，学生版）
【考纲解读】
1．平面向量的实际背景及基本概念：
（1）了解向量的实际背景；（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； （3）理解向量的几何表示． 2．向量的线性运算：
（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． （2）掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义． （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义．
【考点预测】
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:
1.平面向量是历年来高考重点内容之一,经常与三角函数、立体几何、解析几何、不等式等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，平面向量的概念及线性运算的考查，经常以选择题与填空题的形式单独考查,有时也在解答题中与其他知识结合起来考查，在考查平面向量知识的同时，又考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.
2.2020年的高考将会继续保持稳定,坚持考查平面向量与其他知识的结合，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1.向量的有关概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫向量的长度(或模). (2)零向量:长度等于0的向量叫零向量,其方向是不确定的. (3)单位向量:长度为1的向量.
(4)相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量，又叫相等向量.
uuuruuur(5)共线(平行)向量:通过有向线段AB的直线,叫做向量AB的基线.如果向量的基线互相
平行或重合,则称这些向量为共线向量或平行向量. 2.向量的线性运算
rrrruuuruuurruuu(1)向量的加法:已知向量a,b,在平面上任取一点A,作AB=a,BC=b,再作向量AC,则uuurrrrrrruuur向量AC叫做向量a与b的和,记作a+b，即a+b=AC.向量加法满足交换律：rrrrrrrrrra+b=b+a、结合律（a+b）+c=a+（b+c）.向量加法可以使用三角形法则、 平行四
边形法则(即首尾相接,连首尾).
rrrrrr(2)向量的减法:与向量a方向相反且等长的向量,叫做a的相反向量,记为-a,a+(-a)=0;
rrr向量a加上向量b的相反向量,叫做向量的减法,即向量减去向量b.向量减法可以使用三角
形法则,即“共起点,连终点,方向指向被减向量”.
rrr(3)向量数乘:实数?和向量a的乘积是一个向量,记作?a,?a的长为rrrrrrrr|?a|;?a(a?0)的方向,当?>0时,与a同向;当?<0时,与a反向;当?=0或a=0rrrrrr时,0a=0,或?0=0.?a中实数?,叫做向量a的系数,向量数乘的几何意义就是把向量rrra沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.
rrrrr实数与向量积的运算律:设?,??R,a,b是向量,则有: （???）a=?a+?a; rrrrrr?（?a）=（??）a；?（a+b）=?a+?b.
3.向量共线的条件
rrrrrrrr平行向量基本定理:如果a=?b,则a//b;反之,如果a//b(b≠0)则一定存在一个实数rr?,使a=?b.
4.轴上的向量坐标及运算
(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴.
rrr(2)取定了单位向量e,使e的方向与轴l的方向相同,对轴上的任意向量a,那么一定存在唯rrrrr一实数x,使a=xe,反之,任意给定一个实数x,总能在轴l上作一向量a=xe,x叫做a在l
上的坐标（或数量）.
(3)轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和.
(4)轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标;
uuur(5)数轴上两点的距离公式:|AB|?|x2?x1|.
【例题精析】
考点一 向量的基本概念
rr例1. 给出下列命题：①若a?b，则a?b； ②若A、B、C、D是不共线的四点，则AB?DC是四边形为平行四边形的充要条件; ③若a?b,b?c，则a?c； ④a?b的充要条件是
a?b且a∥b； ⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中，正确命题的序号是_________________.
【变式训练】
1. 下列命题中正确的是( ) A.共线向量都相等 C.平行向量不一定是共线向量
考点二 向量的线性运算
B.单位向量都相等
D.模为0的向量与任意一个向量平行
uuuruuruurBC?BA?2BP，例2. （2020年高考山东卷理科7文科9）设P是VABC所在平面内的一点，uuruurruuuruurr则（ ）A. PA?PB?0 B. PC?PA?0C.
uuruuurruuruuruuurrPB?PC?0 D. PA?PB?PC?0【变式训练】
2. （2020年高考四川卷文科7)如图，正六边形ABCDEF
uuuruuuruuur中，BA?CD?EF=( )
例.（2020年高考四川卷理科5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，
uuuuruuur2uuuruuuruuuruuurBC?16,?AB?AC???AB?AC??则?AM??( )
（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1 【课时作业】
1.（2020年高考湖南卷文科第4题）如图1， D，E，F分别是?ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
uuuruuuruuurrA．AD?BE?CF?0 uuuruuuruuurrB．BD?CF?DF?0 uuuruuuruuurrC．AD?CE?CF?0
uuuruuuruuurrD．BD?BE?FC?0
图1
uuuruuuruuuur2．（2020年高考湖北卷文科8）已知?ABC和点M满足MA?MB?MC?0.若存在实m使
uuuuruuuruuuur得AM?AC?mAM成立，则m=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3. (山东省威海市2020年3月高三第一次模拟）已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若
OA?2OC?3OB,则A.
BCAB
的值为（ ）
11 D. 46rrrr4. （2020年高考海南卷文科1)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a?b
B.
C.
1 21 3rr与向量ka?b垂直,则k? .
【考题回放】
1. (2020年高考浙江卷文科7)设a，b是两个非零向量,则下列说法正确的是（ ） A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|
2.(2020年高考辽宁卷理科3)已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a?b|，则下面结论正确的是（ ）
(A) a∥b (B) a⊥b (C){0,1,3} (D)a+b=a?b
rrrrr?
3. (2020年高考新课标全国卷理科13)已知向量a,b夹角为45，且a?1,2a?b?10；r则b?_____.
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