目 录
综合计算 ............................................................................................. - 1 - 压轴题专题 ....................................................................................... - 12 - 选择题专题 ....................................................................................... - 36 - 填空题专题 ....................................................................................... - 49 - 解方程（组）、不等式组专题 .......................................................... - 66 - 计算题专题 ....................................................................................... - 72 - 几何证明专题 ................................................................................... - 77 - 二次函数专题 ................................................................................... - 89 -
- 1 -
综合计算
宝山区、嘉定区
21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，?BAD?90?，AC?AD. （1）如果?BAC??BCA?10?，求?D的度数； （2）若AC?10，cot?D?
21.解：（1）∵AD∥BC
∴?BCA??CAD …………………1分 ∵?BAC??BCA?10?
∴?BAC??CAD?10? …………………1分 ∵?BAD?90?
∴?BAC??CAD?90?
∴?CAD?40? …………………1分 ∵AC?AD
∴?ACD??D …………………1分 ∵?ACD??D??CAD?180?
∴?D?70? …………………1分
(2) 过点C作CH?AD,垂足为点H，在Rt△CHD中，cot?D?∴cot?D?A 图4
B C A 图4
D 1，求梯形ABCD的面积. 3B C H D 1 3HD1?…………………………1分 CH3设HD?x,则CH?3x，∵AC?AD,AC?10 ∴AH?10?x 在Rt△CHA中，AH?CH22?AC2 ∴(10?x)2?(3x)2?102
∴x?2，x?0（舍去）∴HD?2 …………1分 ∴HC?6，AH?8，AD?10………………1分 ∵?BAD??CHD?90?∴AB∥CH
- 1 -
∵AD∥BC ∴四边形ABCH是平行四边形 ∴BC?AH?8………1分 ∴梯形ABCD的面积S?长宁区
21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，BC=24，
DA11(AD?BC)?CH?(10?8)?6?54………1分 22sin?ABC?5． 13B（1）求AB的长；
（2）若AD=6.5，求?DCB的余切值．
21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为点E 又∵AB=AC ∴BE?1BC ∵BC=24 ∴ BE=12 （1分）
2C第21题图
在Rt?ABE中，?AEB?90，sin?ABC?
?AE5（1分） ?
AB13设AE=5k,AB=13k ∵AB?AE?BE ∴BE?12k?12 ∴k?1 ， ∴AE?5k?5 ， AB?13k?13 （2分） （2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F ∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5
∵AE⊥BC，DF⊥BC ∴ ?AEB??DFB?90? ∴ AE//DF 222AEBEAB 又 ∵ AE=5，BE=12，AB=13， ??DFBFBD15,BF?18 ∴DF?（4分） 2∴
∴CF?BC?BF 即CF?24?18?6 （1分） 在Rt?DCF中，?DFC?90?，cot?DCB?CF64 ?? （1分）
DF1552崇明区
- 2 -
21．（本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分）
已知圆O的直径AB?12，点C是圆上一点，且?ABC?30?，点P是弦BC上一动点， 过点P作PD?OP交圆O于点D． （1）如图1，当PD∥AB时，求PD的长； （2）如图2，当BP平分?OPD时，求PC的长．
21．（本题满分10分，每小题5分）
（1）解：联结OD
∵直径AB?12 ∴OB?OD?6 ……………………………………1分
∵PD⊥OP ∴∠DPO?90?
∵PD∥AB ∴∠DPO?∠POB?180? ∴∠POB?90? ……1分 又∵∠ABC?30?，OB?6
（第21题图1）
（第21题图2）
C P
A
O
D B
A
C P
D O
B
tan30??23 ………………………………………………1分 ∴OP?OBg∵在Rt△POD中，PO?PD?OD ……………………………1分 ∴(23)?PD?6
∴PD?26 ……………………………………………………………1分 （2）过点O作OH⊥BC，垂足为H ∵OH⊥BC
- 3 -
222222 ∴∠OHB?∠OHP?90? ∵∠ABC?30?，OB?6
∴OH?1OB?3，BH?OBgcos30??33 ……………………2分 2∵在⊙O中，OH⊥BC
∴CH?BH?33 ……………………………………………………1分 ∵BP平分∠OPD ∴∠BPO?1∠DPO?45? 2cot45??3 ……………………………………………1分 ∴PH?OHg∴PC?CH?PH?33?3 ………………………………………1分
奉贤区
21.（本题满分10分，每小题满分各5分）
已知：如图6，在△ABC中，AB=13，AC=8，cos?BAC?是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F． (1) 求?EAD的余切值； (2) 求 21、（1）黄浦区
21．（本题满分10分）
如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E.已知AB=AC=6，cosB=
55； （2）； 685，BD⊥AC，垂足为点D，E13A
E B F 图6
BF的值． CFD C 2， 3AD∶DB=1∶2.
- 4 -
（1）求△ABC的面积； （2）求CE∶DE.
21. 解：（1）由AB=AC=6，AH⊥BC，
得BC=2BH.—————————————————————————（2分） 在△ABH中，AB=6，cosB=
得BH=
2，∠AHB=90°， 32?6?4，AH=62?42?25，————————————（2分） 31 ?25?8?85.——————————————（1分）
2 则BC=8，
所以△ABC面积=
（2）过D作BC的平行线交AH于点F，———————————————（1分）
由AD∶DB=1∶2，得AD∶AB=1∶3， 则
金山区
21．（本题满分10分，每小题5分）
如图5，在矩形ABCD中，AE=BC，E是BC边上的点，
CECHBHAB3 ????. ——————————————（4分）
DEDFDFAD1DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：AF=BE；
（2）如果BE∶EC=2∶1，求∠CDF的余切值．
- 5 -
A D
F
B
图5
E
C
21．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB，……………………………………………………………………（1分）
∵AE=BC，DF⊥AE，∴AD=AE，∠ AFD=∠EBA=90°，………………………（2分） ∴△ADF≌△EAB，∴AF=EB，………………………………………………………（2分）
（2）设BE=2k，EC=k，则AD=BC=AE=3k，AF=BE=2k，…………………………（1分）
∵∠ADC=90°，∠AFD=90°，∴∠CDF+∠ADF=90°，∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠CDF=∠DAF…………………………………………………………………（2
分）
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，DF= ∴cot∠CDF=cot∠DAF=分） 静安区
21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）
已知：如图，边长为1的正方形ABCD中，AC 、DB交于点H．DE平分∠ADB，交AC于点E．联结BE并延长，交边AD于点F． （1）求证：DC=EC； （2）求△EAF的面积．
B A E H 第21题图
AD2?AF2?5k
AF2k25．………………………………（2??DF55kF D C - 6 -
21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）
解：（1）∵正方形ABCD，
∴DC=BC=BA=AD, ∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°
A E H B 第21题图
F D AH=DH=CH=BH, AC⊥BD,
∴∠ADH=∠HDC=∠DCH=∠DAE= 45°． …………（2分） 又∵DE平分∠AD B ∴∠ADE=∠EDH
∵∠DAE+∠ADE=∠DEC, ∠EDH+∠HDC=∠EDC…………（1分） ∴∠EDC=∠DEC …………（1分） ∴DC=EC …………（1分） （2）∵正方形ABCD，∴AD∥BC, ∴△AFE∽△CBE ∴
C S?AEFAE2?() ………………………………（1分） S?CEBEC∵AB=BC=DC=EC=1，AC=2,∴AE=2?1 …………………………（1分）
Rt△BHC中， BH=
22BC=, 22122?1?? ……………………（2分） 224232?4?(3?22)?…………（1分） 44∴在△BEC中，BH⊥EC, S?BEC?∴
S?AEF24?(2?1)2, ∴S?AEF?闵行区
21．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）
已知一次函数y??2x?4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限
1内作直角三角形ABC，且∠BAC = 90，tan?ABC?．
2o
y B （1）求点C的坐标；
（2）在第一象限内有一点M（1，m），且点M与点
C位于直线AB的同侧，使得2S?ABM?S?ABC， 求点M的坐标．
- 7 -
C O A （第21题图）
x
21．解：（1）令y?0，则?2x?4?0，解得：x?2，∴点A坐标是（2，0）．
令x?0，则y?4，∴点B坐标是（0，4）．………………………（1分） ∴AB?OA2?OB2?22?42?25．………………………………（1分） ∵?BAC?90o，tan?ABC?1，∴AC?5． 2过C点作CD⊥x轴于点D，易得?OBA∽?DAC．…………………（1分） ∴AD?2，CD?1，∴点C坐标是（4，1）．………………………（1分） （2）S?ABC?11AB?AC??25?5?5．………………………………（1分） 225．……………………………………（1分） 2∵2S?ABM?S?ABC，∴S?ABM?∵M(1，m)，∴点M在直线x?1上；
令直线x?1与线段AB交于点E，ME?m?2；……………………（1分） 分别过点A、B作直线x?1的垂线，垂足分别是点F、G，
∴AF+BG = OA = 2；……………………………………………………（1分）
111∴S?ABM?S?BME?SAME?ME?BG?ME?AF?ME(BG?AF)
222115?ME?OA??2?ME?…………………（1分） 2225599∴ME?，m?2?，m?，∴M(1，）．……………………（1分）
2222普陀区
21．（本题满分10分）
如图7，在Rt△ABC中，点D在边BC上，点E为垂足，AB?7，?C?90o，DE⊥AB，
?DAB?45o，tanB?（1）求DE的长；
3. 4C
D
（2）求?CDA的余弦值．
A
E 图7
B
- 8 -
21．解：
（1）∵DE⊥AB，∴?DEA?90?
又∵?DAB?45o，∴DE?AE． ················· （1分） 在Rt△DEB中，?DEB?90?，tanB?3DE3?． ，∴······· （1分）
4BE4设DE?3x，那么AE?3x，BE?4x．
∵AB?7，∴3x?4x?7，解得x?1． ··············· （2分） ∴DE?3． ·························· （1分） （2） 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD?32． ··········· （1分）
同理得BD?5． ························· （1分） 在Rt△ABC中，由tanB?∴CD?
2834，可得cosB?．∴BC?． ···· （1分） 4553． ·························· （1分） 5∴cos?CDA?CD2． ··················· （1分） ?AD102． 10
即?CDA的余弦值为青浦区
21. (本题满分10分，第（1）、（2）小题，每小题5分）
如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长
BD至点E，且BD=2DE，联结AE．
（1）求线段CD的长； （2）求△ADE的面积.
BAEDC
图5
21．解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H． ················ （1分）
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，
∴DH = DC=x， ························ （1分） 则AD=3?x．
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5. ·············· （1分）
- 9 -
∵sin?BAC?∴
HDBC， ?ADABx4························ （1分） ?，
3?x54∴x?. ·························· （1分）
311410（2）SVABD?AB?DH??5??. ·············· （1分）
2233∵BD=2DE， ∴
SVABDBD??2， ···················· （3分） SVADEDE∴SVADE?松江区
1015??. ···················· （1分） 32321.（本题满分10分, 每小题各5分） 如图，已知△ABC中，∠B=45°，tanC?1， 2BC=6.
（1）求△ABC面积；
（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于 点E. 求DE的长．
21.（本题满分10分, 每小题各5分） 解：（1）过点A作AH⊥BC于点H…………1分 在Rt?ABC中，∠B=45°
设AH =x ,则BH=x………………………………1分 在Rt?AHC中，tanC?AH1? HC2(第21题图)
A D B (第21题图) E C A
D E C ∴HC=2x………………………………………………………1分
- 10 -
∵BC=6
∴x+2x=6 得x=2
∴AH=2…………………………………………………………1分 1∴S?ABC??BC?AH?6……………………………………1分 2(2)由（1）得AH=2，CH=4
在Rt?AHC中，AC?AH2?HC2?25…………………2分 ∵DE垂直平分AC ∴CD?1AC?5 2 ED⊥AC …………………………………………………1分 在Rt?EDC中，tanC?∴DE?徐汇区
21. 如图，在Rt?ABC中，?C?90?，AC?3，BC?4，AD平分?BAC交BC于点D. （1）求tan?DAB；
（2）若⊙O过A、D两点，且点O在边AB上，用 尺规作图的方法确定点O的位置并求出的⊙O半径. （保留作图轨迹，不写作法）
ED1?……………………………1分 CD215 ………………………………………………1分 2- 11 -
杨浦区
21、（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分） 已知，如图5，在梯形ABCD中，DC//AB, AD=BC, BD平分∠ABC，∠A=60 求：（1）求∠CDB的度数
（2）当AD=2时，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积。
0
压轴题专题
宝山区、嘉定区
25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
在圆O中，AO、BO是圆O的半径，点C在劣弧AB上，OA?10，AC?12，AC- 12 -
∥OB，联结AB.
（1）如图8，求证：AB平分?OAC；
（2）点M在弦AC的延长线上，联结BM，如果△AMB是直角三角形，请你在如图9
中画出
点M的位置并求CM的长；
（3）如图10，点D在弦AC上，与点A不重合，联结OD与弦AB交于点E，设点D与
点C的
距离为x，△OEB的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
25.（1）证明：∵AO、BO是圆O的半径 ∴AO?BO…………1分 ∴?OAB??B…………1分 ∵AC∥OB
∴?BAC??B…………1分 ∴?OAB??BAC
∴AB平分?OAC…………1分 (2)解：由题意可知?BAM不是直角，
A O A O A D C O E C C B
图8
B 图9 B
图10
A O C B
图8
- 13 -
所以△AMB是直角三角形只有以下两种情况:
?AMB?90?和?ABM?90?
① 当?AMB?90?，点M的位置如图9-1……………1分 过点O作OH?AC,垂足为点H
1∵OH经过圆心 ∴AH?HC?AC
2∵AC?12 ∴AH?HC?6 在Rt△AHO中，AH?HO?OA ∵OA?10 ∴OH?8
∵AC∥OB ∴?AMB??OBM?180? ∵?AMB?90? ∴?OBM?90? ∴四边形OBMH是矩形 ∴OB?HM?10
∴CM?HM?HC?4……………2分 ②当?ABM?90?，点M的位置如图9-2
222A H C M O B 图9-1 A O 25 5AB2在Rt△ABM中，cos?CAB??5
AM5由①可知AB?85，cos?CAB?∴AM?20
C M B 图9-2 CM?AM?AC?8……………2分
综上所述，CM的长为4或8.
说明：只要画出一种情况点M的位置就给1分，两个点都画正确也给1分. （3）过点O作OG?AB,垂足为点G 由（1）、（2）可知，sin?OAG?sin?CAB 由（2）可得：sin?CAB?5 5A D E O GC ∵OA?10∴OG?25……………1分 ∵AC∥OB∴
BEOB?……………1分 AEADB
图10
又AE?85?BE,AD?12?x,OB?10
- 14 -
∴
BE85?BE?80510 ∴BE? ……………1分
22?x12?x∴y?∴y?11805?BE?OG???25 2222?x400……………1分
22?x自变量x的取值范围为0?x?12……………1分 长宁区
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）
在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO、BO、AD、
BD. 已知圆O的半径长为5 ，弦AB的长为8．
（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长； （2）如图2，设AC=x，
S?ACO?y，求y关于x的函数解析式并写出定义域； S?OBD（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．
25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）
图1 图2 第25题图备用图 AOCDOCDOBABAB- 15 -
解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8， ∴OD⊥AB，AC?1AB?4 （2分） 2在Rt△AOC中，??ACO?90?，AO=5， ∴CO?AO2?AC2?3 （1分）
?OD?5，?CD?OD?OC?2 （1分）
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则由（1）可得AH=4，OH=3 ∵AC=x，∴CH?|x?4|
在Rt△HOC中，??CHO?90?，AO=5， ∴CO?HO2?HC2?32?|x?4|2?x2?8x?25， （1分）
S?ACOS?ACOS?OBCACOCxx2?8x?25∴y? ??????S?OBDS?OBCS?OBDBCOD8?x5xx2?8x?25 ? （0?x?8） （3
40?5x分）
（3）①当OB//AD时， 过点A作AE⊥OB交BO延长线于点E，过点O作OF⊥AD,垂足为点
F，
则OF=AE， ?S?ABO?11AB?OH24AB?OH?OB?AE ∴AE???OF 22OB5714 ∵OF过圆心，OF⊥AD，∴AD?2AF?. （3分） 55在Rt△AOF中，??AFO?90?，AO=5， ∴AF?AO2?OF2?②当OA//BD时， 过点B作BM⊥OA交AO延长线于点M，过点D作DG⊥AO，垂足为点G，
24， 在Rt△GOD中，??DGO?90?，DO=5， 5771822∴GO?DO?DG?，AG?AO?GO?5??，
555则由①的方法可得DG?BM?在Rt△GAD中，??DGA?90?，∴AD?综上得AD?崇明区
25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分）
AG2?DG2?6 （ 3分）
14或6 5- 16 -
如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，且AB2?AD?AC，AB?8，BC?10，AC?12，联结BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），?AEF??C，AE与BD相交于点G．
（1）求证：BD平分?ABC；
（2）设BE?x，CF?y，求y与x之间的函数关系式； （3）联结FG，当△GEF是等腰三角形时，求BE的长度．
25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） （1）∵AB?8，AC?12 又∵AB?ADgAC ∴AD?2A A D G B
F D E
（第25题图）
C
B
（备用图）
C
162016? ∴CD?12? ……………………………1分 333ADAB? ABAC∵AB?ADgAC ∴
2又∵∠BAC是公共角 ∴△ADB∽△ABC …………………………1分 ∴∠ABD?∠C，
BDAD? BCAB∴BD?20 ∴BD?CD ∴∠DBC?∠C ………………………1分 3∴∠ABD?∠DBC ∴BD平分∠ABC ………………………1分
- 17 -
（2）过点A作AH∥BC交BD的延长线于点H
16ADDHAH4???3? ∵AH∥BC ∴
DCBDBC2053∵BD?CD?2016，AH?8 ∴AD?DH? ∴BH?12 ……1分 33∵AH∥BC ∴
AHHG812?BG12x? ∴? ∴BG?…1分 BEBGxBGx?8∵∠BEF?∠C?∠EFC 即∠BEA?∠AEF?∠C?∠EFC ∵∠AEF?∠C ∴∠BEA?∠EFC 又∵∠DBC?∠C
∴△BEG∽△CFE ……………………………………………………………1分
12xxBEBG?∴ ∴?x?8
y10?xCFEC?x2?2x?80∴y? …………………………………………………………1分
12（3）当△GEF是等腰三角形时，存在以下三种情况： 1° GE?GF 易证
GEBE2x2?? ，即?，得到BE?4 ………2分 EFCF3y3 2° EG?EF 易证BE?CF，即x?y，BE??5?105 …………2分 3° FG?FE 易证 奉贤区
25．（本题满分14分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分4分）
- 18 -
GEBE3x3?? ，即? BE??3?89 ………2分 EFCF2y2已知：如图9，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C在半径OB上，AC的垂直平分线交OA于点D，交弧AB于点E，联结BE、CD． （1）若C是半径OB中点，求∠OCD的正弦值； （2）若E是弧AB的中点，求证：BE2?BO?BC；
（3）联结CE，当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长．
A E D O C B 图9
A O B 备用图
- 19 -
A O B
备用图
黄浦区
25．（本题满分14分）
如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2. （1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数； （3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长.
- 20 -
25. 解：（1）过A作AH⊥BC于H，————————————————————（1分） 由∠D=∠BCD=90°，得四边形ADCH为矩形.
在△BAH中，AB=2，∠BHA=90°，AH=y，HB=x?1，
所以22?y2?x?1，——————————————————————（1分） 则y?2?x2?2x?3?0?x?3?.———————————————（2分）
（2）取CD中点T，联结TE，————————————————————（1分） 则TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD.
∴∠AET=∠B=70°. ———————————————————————（1分） 又AD=AE=1，
∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°. ——————————————————（1分） 由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，————————————（1分） 所以∠AEC=70°＋35°=105°. ——————————————————（1分）
（3）当∠AEC=90°时，
易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°， 则在△ABH中，∠B=60°，∠AHB=90°，AB=2，
得BH=1，于是BC=2. ——————————————————————（2分）
当∠CAE=90°时，
易知△CDA∽△BCA，又AC?BC2?AB2?x2?4，
x2?41?17?x?（舍负）—————（2分） x2ADCA?? 则
ACCB 易知∠ACE<90°.
1x?42? 所以边BC的长为2或
1?17.——————————————————（1分） 2- 21 -
金山区
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5 分） 如图9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，sinB?3，P是线段BC上 5一点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线
CD相交于点E，设BP=x．
（1）求证△ABP∽△ECP；
（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，
求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长．
25．解：（1）在⊙P中，PA=PQ，∴∠PAQ ＝∠PQA，……………………………（1分）
∵AD∥BC，∴∠PAQ ＝∠APB，∠PQA ＝∠QPC，∴∠APB ＝∠EPC，……（1分） ∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B ＝∠C，…………………………（1分） ∴△APB∽△ECP．…………………………………………………………（1分） （2）作AM⊥BC，PN⊥AD，
∵AD∥BC，∴AM∥PN，∴四边形AMPN是平行四边形，
图9
备用图
B P C B C
A Q E D A D - 22 -
∴AM=PN，AN=MP．………………………………………………………（1分） 在Rt△AMB中，∠AMB=90°，AB=5，sinB=
3， 5∴AM=3，BM=4，∴PN=3，PM=AN=x-4，……………………………………（1分） ∵PN⊥AQ，∴AN=NQ，∴AQ= 2x-8，……………………………………（1分）
11 ?AQ?PN???2x?8??3，即y?3x?12，………………………（1分）
2213定义域是4?x?．………………………………………………………（1分）
2∴y?（3）解法一：由△QED 与△QAP相似，∠AQP＝∠EQD，
①如果∠PAQ＝∠DEQ，∵△APB∽△ECP，∴∠PAB＝∠DEQ，
又∵∠PAQ＝∠APB，∴∠PAB＝∠APB，∴BP=BA=5．………………………（2分） ②如果∠PAQ＝∠EDQ，∵∠PAQ＝∠APB，∠EDQ＝∠C，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠APB，∴ AB=AP，∵AM⊥BC，∴ BM=MP=4，∴ BP=8．………（2分） 综上所述BP的长为5或者8．………………………………………………（1分） 解法二：由△QAP与△QED相似，∠AQP＝∠EQD， 在Rt△APN中，AP?PQ?3??x?4??22x2?8x?25，
∵QD∥PC，∴
EQEP?， QDPCAPEQAPEP?，∴， ?PBQDPBPC∵△APB∽△ECP，∴
AQEQAQAP2x?8??①如果，∴，即?2QPQDQPPBx?8x?25x2?8x?25，
x解得x?5………………………………………………………………………（2分） ②如果
2x?8AQDQAQPB???，∴，即2QPQEQPAPx?8x?25xx?8x?252，
解得x?8………………………………………………………………………（2分） 综上所述BP的长为5或者8．…………………………………………………（1分）
静安区
25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4
分）
- 23 -
如图，平行四边形ABCD中，已知AB=6，BC=9，cos?ABC?1．对角线AC、BD交于点3A D
O O．动点P在边AB上，⊙P经过点B,交线段PA于点E．设BP= x．
（1） 求AC的长；
（2） 设⊙O的半径为y，当⊙P与⊙O外切时， 求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3） 如果AC是⊙O的直径，⊙O经过点E， 求⊙O与⊙P的圆心距OP的长．
E P · B A O 第25题图
C D
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 解：（1）作AH⊥BC于H，且cos?ABC?那么BH?AB?cos?ABC?6?B 第25题备用图
C 1，AB=6， 3A E · P B H O D
1?2…………（2分） 3BC=9，HC=9-2=7，
第25题图(1)
C AH?62?22?42， ……………………（1分） AC?AH2?HC2?32?49?9﹒ ………（1分）
（2）作OI⊥AB于I，联结PO, AC=BC=9，AO=4.5 ∴∠OAB=∠ABC, ∴Rt△AIO中， cos?IAO?cos?ABC?A I E · P B H O D AI1? AO3∴AI=1.5，IO=22AI?32 ……………………（1分） ∴PI=AB-BP-AI=6-x-1.5=∴Rt△PIO中，
第25题图(2)
C 9?x， ……………………（1分） 2981153OP2?PI2?OI2?(32)2?(?x)2?18?x2?9x??x2?9x?……（1分）
244∵⊙P与⊙O外切，∴OP?x2?9x?153?x?y ……………………（1分） 4- 24 -
∴y=x?9x?21531?x?4x2?36x?153?x …………………………（1分） 42∵动点P在边AB上，⊙P经过点B,交线段PA于点E．∴定义域：0 9 2① 当E与点A不重合时，AE是⊙O的弦，OI是弦心距，∵AI=1.5，AE =3， ∴点E是AB 中点，BE?13AB?3,BP?PE?,PI?3, IO=32 22 OP?PI2?IO2?32?(32)2?27?33 ……………………（2分）② 当E与点A重合时，点P是AB 中点，点O是AC 中点,OP?∴OP?33或闵行区 25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分） 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB = 90，AC =6，BC = 8，点F在线段AB上，以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E，射线AE交圆B于点D（点D、E不重合）． （1）如果设BF = x，EF = y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域； ??2EF?，求ED的长； （2）如果EDo 19 BC? ……（2分） 229． 2（3）联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形？说明理由． A （第25题图） （备用图） C E D C F B A B - 25 - 25．解：（1）在Rt△ABC中，AC?6，BC?8，?ACB?90o ∴AB?10．……………………………………………………………（1分） 过E作EH⊥AB，垂足是H， 易得：EH?341x，BH?x，FH?x．…………………………（1分） 55522222?3??1?在Rt△EHF中，EF?EH?FH??x???x?， ?5??5?∴y?10x(0?x?8)．………………………………………（1分+1分） 5?的中点P，联结BP交ED于点G （2）取ED??2EF?，P是ED?的中点，∴EP??EF??PD?． ∵ED∴∠FBE =∠EBP =∠PBD． ??EF?，BP过圆心，∴BG⊥ED，ED =2EG =2DG．…………（1分） ∵EP又∵∠CEA =∠DEB， ∴∠CAE=∠EBP=∠ABC．……………………………………………（1分） 3又∵BE是公共边，∴?BEH≌?BEG．∴EH?EG?GD?x． 5在Rt△CEA中，∵AC = 6，BC?8，tan?CAE?tan?ABC?∴CE?AC?tan?CAE?∴BE?8?ACCE， ?BCAC6?63?39??．……………………………（1分） 82291697???．……………………………………………（1分） 222266721∴ED?2EG?x???．……………………………………（1分） 5525（3）四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………………（1分） ①当CD∥AB时，如果四边形ABDC是直角梯形， 只可能∠ABD =∠CDB = 90． 在Rt△CBD中，∵BC?8， ∴CD?BC?cos?BCD?o CED32， 5AFBBD?BC?sin?BCD?24?BE． 532328?CD16CE5?1； ?5?∴，?32AB1025BE45- 26 - ∴ CDCE． ?ABBE∴CD不平行于AB，与CD∥AB矛盾． ∴四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………（2分） ②当AC∥BD时，如果四边形ABDC是直角梯形， 只可能∠ACD =∠CDB = 90． ∵AC∥BD，∠ACB = 90， ∴∠ACB =∠CBD = 90． ∴∠ABD =∠ACB +∠BCD > 90． 与∠ACD =∠CDB = 90矛盾． ∴四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………（2分） 普陀区 25．（本题满分14分） 已知P是⊙O的直径BA延长线上的一个动点，?P的另一边交⊙O于点C、D，两点位于AB的上方，AB＝6，OP＝m，sinP＝，如图11所示．另一个半径为6的⊙O1经过点C、D，圆心距OO1＝n． （1）当m＝6时，求线段CD的长； （2）设圆心O1在直线AB上方，试用n的代数式表示m； （3）△POO1在点P的运动过程中，是否能成为以OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由． 25．解： （1）过点O作OH⊥CD，垂足为点H，联结OC． 在Rt△POH中，∵sinP＝，PO?6，∴OH?2． ········· （1分） ∵AB＝6，∴OC＝3． ······················ （1分） - 27 - 图11 备用图 P C A O B A O B D o o oo o CEAFBD1313 由勾股定理得 CH?5． ····················· （1分） ∵OH⊥DC，∴CD?2CH?25． ··············· （1分） （2）在Rt△POH中，∵sinP＝，PO ＝m，∴OH＝213m． ········ （1分） 3?m?在Rt△OCH中，CH＝9???． ················ （1分） ?3?2m??在Rt△O1CH中，CH2＝36??n??． ·············· （1分） 3??23n2?81m???m?可得 36??n??＝9???，解得m＝． ········· （2分） 332n????（3）△POO1成为等腰三角形可分以下几种情况： ● 当圆心O1、O在弦CD异侧时 223n2?81①OP＝OO1，即m＝n，由n＝解得n＝9． ········· （1分） 2n即圆心距等于⊙O、⊙O1的半径的和，就有⊙O、⊙O1外切不合题意舍去．（1分） m2m22②O1P＝OO1，由(n?)?m?()＝n， 332293n2?81m＝nnn＝15． ········· （1分） ，即，＝解得解得 3352n81?3n2● 当圆心O1、O在弦CD同侧时,同理可得 m＝． 2n981?3n2∵?POO1是钝角，∴只能是m?n，即n＝，解得n＝5． ·· （2分） 52n995或15．综上所述，n的值为55 青浦区 25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 如图9-1，已知扇形MON的半径为2，∠MON=90o，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD?BM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA= x，∠COM的正切值为y． （1）如图9-2，当AB?OM时，求证：AM =AC； （2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域； - 28 - （3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值. NNN BB CDCD OAMOAMO 图9-1 图9-2 备用图 25．解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM =∠BAM =90°． ·········· ∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M，∴∠ABM =∠DOM． ·········∵∠OAC=∠BAM，OC =BM， ∴△OAC≌△ABM， ······················∴AC =AM． ·························（2）过点D作DE//AB，交OM于点E． ················∵OB＝OM，OD⊥BM，∴BD＝DM． ················∵DE//AB， ∴ MDMEDM?AE，∴AE＝EM， ∵OM=2，∴AE＝12?2?x?． ················∵DE//AB， ∴OAOC2DMOE?OD?OD， ···················∴DMOAOD?2OE， ∴y?xx?2．（0?x?2） ·················（3）（i） 当OA=OC时， ∵DM?12BM?12OC?12x， 在Rt△ODM中，OD?OM2?DM2?2?12DM4x．∵y?OD， - 29 - M1分）1分）1分）1分）1分）1分）1分）1分）2分） （ （ （ （ （ （ （ （ （
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