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22 (本题满分12分)
如图，已知椭圆
x2y22的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、??1(a＞b＞0)2a2b2右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4(2?1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1·k2?1； （Ⅲ）探究
11AB?CD是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
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扶余市第一中学2015—2016学年度上学期期末考试
高二数学（理）参考答案
1—12 13. 2或
BACAC CBDCD DC
x2y2??1 14. 2 15. 30° 16. 4217．解：设直线与椭圆的交点为
A(x1，y1)、B(x2，y2)，M(2,1)为AB的中点．
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A、B两点在椭圆上， 则x1＋4y1＝16，x2＋4y2＝16. 两式相减得(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴
2
2
2
2
2
2
2
2
y1－y2
＝－x1－x2x1＋x211
＝－，即kAB＝－. y1＋y222
故所求直线方程为x＋2y－4＝0.
xyxy
18.解： (1)设椭圆方程为2＋2＝1，双曲线方程为2－2＝1(a，b，m，n>0，且a>b)，
abmna－m＝4??
则?1313
7·＝3·，?am?
2
2
2
2
2
2
解得：a＝7，m＝3，∴b＝6，n＝2，
xyxy
∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
493694
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1
－PF2＝6，
PF1＋PF2－F1F24
∴PF1＝10，PF2＝4，∴cos∠F1PF2＝＝，
2PF1·PF25
3113
∴sin∠F1PF2＝.∴S△F1PF2＝PF1·PF2sin∠F1PF2＝·10·4·＝12.
522519. （1）由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4， 又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝
2
2
2
22
4 32（2）因为左焦点F1(?c,0)，设l的方程为y＝x＋c，其中c?1?b． 设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组
?y?x?c?222
化简，得（1＋b）x＋2cx＋1－2b＝0. ?2y2?x?2?1b?优质文档
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?2c1?2b2,x1x2?则x1?x2?． 1?b21?b2因为直线AB的斜率为1，所以AB?2x2?x1． 即
4?2x2?x1． 3281?2b28b2??2c?2则?(x1?x2)?4x1x2??， ?4??2?22291?b1?b???1?b?解得b?
22Sn20. 解：（1）当n?2时，Sn?Sn?1?，Sn?1?Sn?2SnSn?12Sn?1
2． 2?1?11??2，从而??构成以1为首项，2为公差的等差数列. SnSn?1?Sn?
（2）由（1）可知，
(6分)
111??(n?1)?2?2n?1，?Sn? SnS12n?111111111?当n?2时，Sn?????(?)
nn(2n?1)n(2n?2)2n(n?1)2n?1n1111111S?S?S?...?S?1?(1????n从而12233n2223
21. （Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得； （Ⅱ）以C为原点，分别以得
，
，
，
，
的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易
，平面PCD的法向量
可取
，由向量
?11313?)???n?1n22n2.
的坐标，可求平面PAD的法向量
的夹角公式可得． 试题解析：（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE？平面ABC，∴PC⊥DE， ∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形， ∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，
DE垂直于平面PCD内的两条相交直线， ∴DE⊥平面PCD
（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=
，
过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2， 由∠ACB=
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得DF∥AC，，故AC=DF=，
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以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0）， ∴
=（1，﹣1，0），
=（﹣1，﹣1，3），
=（，﹣1，0），
设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，
故可取=（2，1，1），
可取
=（1，﹣1，0），
由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量
∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==
∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．
22. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知：c=2，
c2，2a+2c=4（2+1）所以a=22，?a2x2y2??1 又a=b?c，因此b=2。故椭圆的标准方程为84222x2y2由题意设等轴双曲线的标准方程为2?2?1?m?0?，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的
mm焦点。 所以m=2，
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