1
1．设随机变量ξ～N(2,2)，则D(ξ)的值为( )
2
A．1 B．2 1C. D．4 2
解析：选C.∵ξ～N(2,2)，∴D(ξ)＝2.
11?1?1
∴D?ξ?＝2D(ξ)＝×2＝.
42?2?2
2．如图是当
2
σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线N(0，σ)的图象，那么σ1、σ2、σ3
的大小关系是( )
A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0 B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3 C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0 D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3
1x21
解析：选D.当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝e－在x＝0处取最大值，
22π2π故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ越小，曲线越“瘦
高”，反之越“矮胖”，故选D.
2
3．(2020年高考福建卷)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析：选C.∵P(ξ<4)＝0.8， ∴P(ξ>4)＝1－0.8＝0.2.
由题意知图象的对称轴为直线x＝2， ∴P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.3.
∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.
1
∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3.
2
4．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ 解析：c＋1与c－1关于ξ＝2对称， c＋1＋c－1 ＝2，∴c＝2. 2 答案：2 一、选择题 1．设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为φ(x)＝16πe－ x2－4x＋4 6 ， 则( ) A．μ＝2，σ＝3 C．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2 D．μ＝3，σ＝3 2 1－x－2 解析：选C.由φ(x)＝e，得μ＝2，σ＝3.故选C. 2 2π×323 1x2 2．若随机变量X的密度函数为f(x)＝e－，X在(－2，－1)和(1,2)内取值的概 22π 率分别为p1、p2，则p1、p2的关系为( ) A．p1>p2 B．p1 解析：选C.由题意知μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x＝0对称，所以p1＝p2. 2 3．已知随机变量X～N(μ，σ)，则Y＝aX＋b服从( ) 2 A．Y～N(aμ，σ) B．Y～N(0,1) μσ222C．Y～N(，) D．Y～N(aμ＋b，aσ) ab22 解析：选D.由X～N(μ，σ)知E(X)＝μ，D(X)＝σ， ∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝aμ＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)＝a2σ2，从而Y～N(aμ＋b，a2σ2)． 2 4．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝( ) A．0.16 C．0.68 B．0.32 D．0.84 解析：选A.由X～N(2，σ)，对称轴为x＝2，密度函数曲线如图所示，可知P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16. 5．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝( ) A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 解析：选C.ξ服从正态分布N(0,1)，则P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，从而P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C. 6．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝( ) 11A.＋p B.－p 22C．1－2p D．1－p 1 解析：选B.P(－1<ξ<0)＝P(－1<ξ<1) 2 111 ＝[1－2P(ξ>1)]＝－P(ξ>1)＝－p. 222二、填空题 7．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点． 解析：由于正态曲线关于直线x＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2. 答案：0.2 2 8．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ)，若P(ξ＞3)＝P(ξ＜－1)，则E(ξ)＝________. 2 解析：ξ～N(μ，σ)， 3＋－1∴μ＝， 2 ∴μ＝1， ∴E(ξ)＝μ＝1. 答案：1 9．某种零件的尺寸X(cm)服从正态分布N(3,1)，则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的________． 解析：属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)即区间(1,5)的取值概率约为95.4%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的1－95.44%＝4.56%. 答案：4.56% 三、解答题 2 10．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求： (1)X在(0,4)内取值的概率； (2)P(X>4)． 2 解：(1)由于X～N(2，σ)， 对称轴x＝2，画出示意图如图： ∵P(0 ∴P(0 1 (2)P(X>4)＝[1－P(0 2 1 ＝(1－0.4)＝0.3. 2 2 11．某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4,0.5)，质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？ 2 解：由于X服从正态分布N(4,0.5)，由正态分布的性质可知，正态总体在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)即(2.5，5.5)之外取值的概率只有0.0026，而5.7?(2.5,5.5)，说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可认为该批零件是不合格的． 12．水浒书业在2020年上半年对《优化方案》同步系列丛书，在河南某校调查了1200 2 人，其调查的分数服从(95,5)的正态分布，该书业公司准备在下半年对于评分为85分～95分的人再作详细调查，那么水浒书业应准备多少人的问卷？ 2 解：设每人的评分X～N(95,5)， 得分85～95分的概率为 P(85 ＝×0.9544＝0.4772. 2 故85～95分的人数为0.4772×1200≈573. 故准备573人的问卷． 2
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