数学物理方法习题

数学物理方法习题

第一章：

应用矢量代数方法证明下列恒等式

???r?3 1、

???r?0 2、

????????????(A?B)?(B??)A?B(??A)?(A??)B?A(??B) 3、

1?2()?0r4、

?(??A)?0 5、??第二章：

1、下列各式在复平面上的意义是什么? （1）

Z?a?Z?b;0?argz?z0?2

（2）

z?i??Re(1)?2zz?i4;

2、把下列复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。

1?i3;e1?i

3、计算数值（a和b为实常数，x为实变数）

i;ii3isin5?sin(a?ib)W?eiaz?ibsinz

4、函数

1z将z平面的下列曲线变为W平面上的什么曲线？

22x?y?4 （1）

（2）

y?x

5、已知解析函数f(z)的实部u(x,y)或虚部?(x,y)，求解析函数。

x22u?esiny;u?x?y?xy,f(0)?0;u??,f(1)?0； （1）

（2）

???x?x2?y2,f(0?0)

22x?y?常数，求复势。 6、已知等势线族的方程为

第三章：

1、计算环路积分：

(1).(3).(5).z4dz(2).??z?1?1z2?1sinz??z?2?2dz(4).(z?)23z?1??z?4(z?1)(z?3)dzsin?ez??z?i?11?z2dzez??z?1z3dz

zn21znez?d?()???ln!?n?n!2?i2、证明：其中l是含有??0的闭合曲线。

3、估计积分值

?第四章： 1、泰勒展开

2?iidz?22z

z?i （2）e（1） lnz在0f(z)?2、（1）

11?zz?1

z?0 （3）函数z2?1在z?1 在01z(z?1)在区域0?z?1展成洛朗级数。

f(z)?（2）

1(z?3)(z?4)按要求展开为泰勒级数或洛朗级数：① 以z?0为中心展开；

②在z?0的邻域展开；③在奇点的去心邻域中展开；④以奇点为中心展开。 3、确定下列函数的奇点和奇点性质

z51(1);(2)(1?z)2sinz?cosz

第五章： 1、计算留数

z2（1） (z?1)(z?1)在z??1,?点。 ez?13（2） sinz，在z?0点；

z3cos（3）

1z?2在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）；

ez（4） 在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）；

1?z2、计算围道积分

1??l(z?3)(z5?1)dz;l:z?2（1） z1dz;l:z?2???l(z?1)(z?2)2 （2）

3、计算实变函数的定积分

?（1）

2?022?sinxdxdx2?cosx （2）?0a?bcosx(a?b?0)?（3）

2?0cosxdx1?2?cosx??2(??1)

4、计算实变函数的定积分

?x2?11dxdx??0x4?a4??x4?1（1） （2）

?5、计算实变函数的定积分

?（1）第六章：

?0?cosxcosmxdxdx(m?0)?40(x2?a2)(x2?b2)1?x （2）

（3）

??0sin2xdxx2

1、在

x0?0的邻域上求解 y???xy?0

x0?0的邻域上求解 (1?x2)y???6xy??6y?0

2、在

2x?0??y??y?0 03、在的邻域上求解

第七章：

T在x?h点以横向力F01、长为l的均匀弦，两端x?0和x?l固定，弦中张力为0。

拉弦，达到稳恒后放手任其自由振动，写出初始条件。

2、一均匀细棒长l，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当

电梯速度达到第八章：

?0时突然停止，问此时细棒振动的初始条件是什么？

x1、长为l的均匀弦，两端x?0和x?l固定，弦中张力为T。在距一端为0的一点

以力

F0把弦拉开平衡位置，然后突然撤除此力，求弦的自由振动。

2、一均匀细棒长l，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当

电梯速度达到

?0时突然停止，秋节竿的振动。

3、求解薄膜限定浓度的扩散问题

薄膜厚度为l，杂质从两面进入薄膜，设单位表面积下杂质总量为

?0，此外不再有杂

质进入薄膜。在半导体扩散工艺中，有的工序是只让硅片表面已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片，这就是所谓的限定源扩散。

4、在矩形区域0?x?a,0?y?b上求解拉普拉斯方程，并满足边界条件

ux?0?Ay(b?y);ux?a?0;uy?0?Bsin?xa,uy?b?0

5、细圆环，半径为

?0，初始温度分布已知为f(?)，?是以环心为极点的极角，环

表面绝热，求解环内的温度变化。

6、求解绕圆柱的水流问题。在远离圆柱出水流是均匀的，流速为

?0，圆柱半径为a。

7、半圆形薄板，半径为

?0，板面绝热，边界直线上保持为零度，圆周上保持为u0，

求稳定状态下的板上温度分布。

8、一均匀细棒长l，一端固定，另一端在纵向力杆的稳恒振动。

F(t)?F0sin?t的长期作用下，求解

?ut?a2uxx?Asin?t???uxx?0?0ux?l?0??u??(x)9、用冲量定理法求解 ?t?0