(2)因为a1＋1＝6，所以an＋1＝6×2n1＝3×2n，
－
所以an＝3×2n－1.
层级二 应试能力达标
11
1．使不等式a＜b成立的条件是( ) A．a＞b C．a＞b且ab＜0
B．a＜b
D．a＞b且ab＞0
b－a1111
解析：选D 要使＜，须使－＜0，即＜0.
ababab
若a＞b，则b－a＜0，ab＞0；若a＜b，则b－a＞0，ab＜0. 2．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( ) A．sin(α＋β)＞sin α＋sin β B．sin(α＋β)＞cos α＋cos β C．cos(α＋β)＞sin α＋sin β D．cos(α＋β)＜cos α＋cos β
解析：选D 因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．
y14
3．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值
xy4范围是( )
A．(－1,4) C．(－4,1)
B．(－∞，－1)∪(4，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
y4x
·4xy
y14yy4x14
x＋??＋?＝2＋＋≥2＋2解析：选B ∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋＝?xy4?4??xy?4xy
y
＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋的最小值为4，要使不等式m2－3m＞x
4y
＋有解，应有m2－3m＞4，∴m＜－1或m＞4，故选B. 4
4．下列不等式不成立的是( ) A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca B.a＋b＞a＋b(a＞0，b＞0) C.a－a－1＜a－2－a－3(a≥3) D.2＋10＞26
解析：选D 对A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对B，∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(a＋b)2＝a＋b，∴a＋b＞a＋b；对C，要证 a－a－1＜a－2－a－3(a≥3)成立，只需证明a＋a－3＜a－2＋a－1，两边
平方得2a－3＋2a?a－3?＜2a－3＋2?a－2??a－1?，即a?a－3?＜?a－2??a－1?，两边平方得a2－3a＜a2－3a＋2，即0＜2.因为0＜2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)＜0，∴2＋10＜26，故D错误．
2aba＋b?
5．已知函数f(x)＝2x，a，b为正实数，A＝f?，B＝f(ab)，C＝f?a＋b?，则A，
???2?B，C的大小关系是________．
解析：∵
2aba＋b2ab
≥ab(a，b为正实数)，≤ab，且f(x)＝2x是增函数，∴f?a＋b?2??a＋b
a＋b?
≤f(ab)≤f??2?，即C≤B≤A.
答案：C≤B≤A
6．如图所示，四棱柱ABCD- A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．
解析：要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C. 因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD， 即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C. 答案：AC⊥BD(答案不唯一)
7．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C. ππ
证明：在锐角三角形ABC中，∵A＋B＞，∴A＞－B.
22ππ
∴0＜－B＜A＜，
22
π
0，?内正弦函数y＝sin x是单调递增函数， 又∵在??2?π
－B?＝cos B， ∴sin A＞sin??2?即sin A＞cos B．① 同理sin B＞cos C，② sin C＞cos A．③ 由①＋②＋③，得：
sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
8．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明： (1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；
(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
证明：(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd， 由题知a＋b＝c＋d，ab＞cd，得(a＋b)2＞(c＋d)2， 因此a＋b＞c＋d.
(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2， 即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd. 因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd， 所以由(1)得a＋b＞c＋d.
②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2， 即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd. 因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2， 因此|a－b|＜|c－d|.
综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
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