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专题五 解直角三角形的实际应用
类型一 母子型
(2015·河南)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度．(结果保留整数．参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，3≈1.73)
例1题图
【分析】 根据所求构造直角三角形，在直角三角形中，利用锐角三角函数的性质求解问题即可． 【自主解答】如解图，延长BD交AE于点G，过点D作DH⊥AE于点H.
例1题解图
∵由题意，得∠DAE＝∠BGH＝30°，DA＝6， ∴GD＝DA＝6，
∴GH＝AH＝DA·cos 30°＝33，∴GA＝63. 设BC＝x米，在Rt△GBC中，GC＝
BC
＝3x.
tan∠BGC
BCx
在Rt△ABC中，AC＝＝. tan∠BACtan 48°x
∵GC－AC＝GA，∴3x－＝63，
tan 48°解得x≈13.即大树的高度约为13米．
1．(2018·泰州)日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L∶(H－H1)，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度． 如图②，山坡EF朝北，EF长为15 m，坡度为i＝1∶0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5 m的楼房AB，底部A到E点的距离为4 m.
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(1)求山坡EF的水平宽度FH；
(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
图①
图②
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2.(2018·商丘模拟)如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4∶3，坡高BE＝8米，求小船C到岸边的距离CA的长？(参考数据：3≈1.7，结果保留一位小数)
3．如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB的坡度i＝1∶3，AB＝10米，AE＝15米，求这块宣传牌CD的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
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4．(2018·新乡一模)如图，为探测某座山的高度AB，某飞机在空中C处测得山顶A处的俯角为31°，此时飞机的飞行高度为CH＝4千米；保持飞行高度与方向不变，继续向前飞行2千米到达D处，测得山顶A处的俯角为50°.求此山的高度AB.(参考数据：tan 30°≈0.6，tan 50°≈1.2)
5．(2018·烟台)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速，如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时，数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C.测得PC＝30米，∠APC＝71°，∠BPC＝35°.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 71°≈0.95，cos 71°≈0.33，tan 71°≈2.90)
6．(2018·河南说明与检测)如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73.结果保留一位小数．)
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