2020年中考数学模拟试题(含答案)

在Rt△PMC中，∵∠PMC=90°，PM=x，PC=10，CM=4-x，∴x??4?x??22?10?2，

解得：x1?1，x2?3（舍），∴AP=2x=2；

②当点P在直线BC的下方时，如图5，作PN⊥AB的延长线，垂足为N，设PN=y. 同上可得PB=10，△PAN为等腰三角形，∴AN=PN=y，∴BN=y-2， 在Rt△PNB中，∵∠PNB=90°，PN=y，BN=y-2,PB=10，∴y??y?2??22?10，

?2解得：y1?3，y2??1（舍），∴AP=2y=32.故AP的长度为：2或32. 23．（11分）已知：如图，直线y??x?3交坐标轴于A、C两点，抛物线y?x?bx?c过A、C两点.（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接PA,PC，试问△PAC是否存在最大值，若存在，请求出△APC取最大值以及点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标.

2

解：（1）y??x?3交x轴于A（-3,0），交y轴于C（0，-3）， ∵抛物线y?x?bx?c经过点A（-3,0），点C（0，-3），

2?c??3?b?22∴?，解得?，∴抛物线解析式为：y?x?2x?3； ?0?9?3b?c?c??3（2）△APC的面积存在最大值为，此时点P的坐标为：；解答如下： 过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，直线PQ，AC交于点P，

设点P的坐标为（m，m2?2m?3），则点D的坐标为（m，?m?3）， ∴线段PD的长为：（?m?3）-（m2?2m?3）=?m2?3m， ∵S△PAD?11PDgAQ,S△PCD?PDgOQ, 2221113?3?27∴S△PAC=S△PAD?S△PCD=PDgAQ?PDgOQ=PDgAO=??m???，

2222?2?83273， ?0，∴当m?时候，△PAC的面积又最大值，最大值为

282315此时点P的坐标为（?，?）；

24∵a??（3）点M的坐标为???3?5?5+5???3+5?5?5?或?..提示如下： ，，??????22??22??①如图3，当点M在对称轴左侧时，构造矩形EFCG，设点M的坐标为（n，n2?2n?3）， 易证△MEN≌△CFM，得抛物线y?x?2x?3的对称轴为直线x=-1，

则MF=n2?2n?3???3?=n2?2n，NE=?1?n，∵MF=NE，∴n2?2n??1?n， 解得n1?2????3?5?5+5??3?5?3?5（舍），n2?，故点M的坐标为?； ，???2222??②当点M在对称轴的右侧时，过点M作EF∥x轴，分别交对称轴与y轴于点E和点F. 设点M的坐标为（k，k2?2k?3），易证△MEN≌△MFC，抛物线对称轴为直线x=-1， 则ME=k???1?=k?1，CF=??3??k2?2k?3= ?k2?2k，

??∵ME=CF，∴?k2?2k?k?1，解得：k1??3+5?3?5（舍），k2?，

22故的点M的坐标为???3+5?5?5??2，2??； ??

③如图4，作ME⊥对称轴，垂足为E,ME交NC，交点为F. 设点M的坐标为（k，k2?2k?3），则ME=k?1，CF=k2?2k，

k1?易证△MNE≌△CFM，∵ME=CF，故k2?2k?k?1，解得：

?1?5?5?5，）； 22?1?5?1?5k2?，（舍），

22故点M的坐标为（④如图6，作MF⊥y轴，垂足为F,MF交对称轴于点E；

设点M的坐标为（k，k2?2k?3），则ME=?k?1，CF=?k2?2k，

k1?易证△MNE≌△CFM，∵ME=CF，故k2?2k?k?1，解得：

?1?5?5?5，）； 22?1?5?1?5k2?（舍），，

22故点M的坐标为（

综上可得点M的坐标为：????3?5?5+5???3+5?5?5??1?5或或（，，，??????222??22???5?5?1?5?5?5）或（，）. 222