整理，得(an?an?1)(an?an?1?3)?0， Qan?0，?an?an?1?3．
?数列{an}是首项为4，公差为3的等差数列．
?数列{an}的通项公式为an?4?3(n?1)?3n?1，n?N*．
an2?an?12(3n?1)2?(3n?4)233??2??（2）由（1）知，bn?．
anan?1(3n?1)(3n?4)3n?13n?4故Tn?b1?b2???bn ?(2?333333?)?(2??)???(2??) 477103n?13n?4333333?2n?(???????)
477103n?13n?433?2n?(?)
43n?49n． ?2n?4(3n?4)19．（12分）?ABC中，B?60?，AB?2，?ABC的面积为23． （1）求AC；
（2）若D为BC的中点，E，F分别为AB，AC边上的点（不包括端点），且?EDF?120?，求?DEF面积的最小值．
【解答】解：（1）因为B?60?，AB?2，
1133所以S?ABC??AB?BC?sinB??2??BC?BC?23
2222所以BC?4．
由余弦定理，得AC2?AB2?BC?2AB?BC?cosB?22?42?2?2?4?所以AC?23 （2）设?BDE??，??[0?，60?]． 在?BDE中，由正弦定理，得
BDBDDE ??BEDsin?BEDsinB1?12 2所以DE?3
sin(60???)CDDF， ?sin?CFDsinC在?CDF中，由正弦定理，得
第16页（共21页）
由（1）可得C?30?，即
2DF1?，所以DF? 1sin(90???)cos?2所以
1333S?DEF??DE?DF?sin?EDF???24sin(60???)?cos?23cos2??2sin?cos?2sin(2??60?)?3；
当??15?时，sin(2??60?)?1，?DEFS?DEF?故?DEF面积的最小值为6?33．
32?3?6?33．
x2y23120．（12分）已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的离心率为，点A(3,)在E上．
2ab2（1）求E的方程；
1（2）斜率不为0的直线l经过点B(,0)，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，
2使得?PCB??QCB？若存在，求C的坐标；若不存在，请说明理由．
a2?b21?，所以3a2?4b2①， 【解答】解：（1）因为椭圆E的离心率e?a2点A(3,333)在椭圆上，所以2?2?1②， 2a4b由①②解得a2?4，b2?3，
x2y2故E的方程为??1；
43（2）方法一：假设存在定点C，使得?PCB??QCB， 由对称性可知，点C必在x轴上，故可设C(m,0)，
因为?PCB??QCB，所以直线PC与直线QC的倾斜角互补，因此kPC?kQC?0， 1设直线l的方程为：x?ty?，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
21?x?ty???222(12t?16)y?12ty?45?0， x由?2，消去，得2?x?y?1?3?4第17页（共21页）
△?(12t)2?4?(12t2?16)(?45)?144t2?180(12t2?16)?0，所以t?R， y1?y2??12t45，， yy??1212t2?1612t2?16y1y2?kQC?0，所以??0，
x1?mx2?m11?m)?y2(ty1??m)?0， 22因为kPC所以y1(x2?m)?y2(x1?m)?0，即y1(ty2?1整理得2ty1y2?(?m)(y1?y2)?0，
21?90t?(?m)(?12t)45112t2所以2t?(?2?0， )?(?m)(?2)?0，即
12t2?1612t?16212t?1611所以90t?12t(?m)?0，即[90?12(?m)]t?0，对t?R恒成立，
22即(96?12m)t?0对t?R恒成立，所以m?8． 所以存在定点C(8,0)，使得?PCB??QCB．
方法二：如果直线PQ不垂直x轴，由对称性可知，点C也必在x轴上．
假设存在点C(m,0)，使得?PCB??QCB，即直线PC与直线QC的倾斜角互补， 所以kPC?kQC?0．
1设直线l的方程为y?k(x?)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
21?y?k(x?)??2由?2，消去x，得(4k2?3)x2?4k2x?k2?12?0， 2?x?y?1?3?4△?(?4k2)2?4(4k2?3)(k2?12)?180k2?144?0，所以k?R，
4k2k2?12，x1x2?2， x1?x2?24k?34k?3y1y2因为kPC?kQC?0，所以??0，所以y1(x2?m)?y2(x1?m)?0，
x1?mx2?m11即k(x1?)(x2?m)?k(x2?)(x1?m)?0．
221整理得k[2x1x2?(m?)(x1?x2)?m]?0，
22k2?2414k2所以k[2?(m?)?2?m]?0，
4k?324k?33m?24整理得k?2?0，对任意的k?R恒成立，
4k?3所以m?8，故存在x轴上的定点C(8,0)，使得?PCB??QCB．
第18页（共21页）
21．（12分）已知函数f(x)?(x2?ax?1)ex． （1）讨论f(x)的单调性；
（2）若函数g(x)?(x2?1)ex?mx?1在[?1，??)有两个零点，求m的取值范围． 【解答】解：（1）f?(x)?ex[x2?(a?2)x?(a?1)]?ex(x?1)[x?(a?1)]，
0，即f(x)在[?1，??)上单调递增， ①当a?0时，f?(x)?ex(x?1)2…②当a?0时，x?(??,1)，f?(x)?0，函数单调递增，当x?(1,a?1)时，f?(x)?0，函数单调递减，
当x?(a?1,??)时，f?(x)?0，函数单调递增，
③当a?0时，x?(??,1?a)，f?(x)?0，函数单调递增，当x?(a?1,1)时，f?(x)?0，函数单调递减，
当x?(1,??)时，f?(x)?0，函数单调递增， （2）g?(x)?(x2?2x?1)ex?m，
0恒成立，g(x)在[?1，??)上单调递增，最多一个零点，不符合题(i)当m?0时，g?(x)…意；
0恒成立，故g?(x)在(ii)当m?0时，令h(x)?(x2?2x?1)ex?m，则h?(x)?(x2?4x?3)ex…[?1，??)上单调递增，
因为g?(?1)??m?0，x???时，g?(x)?0，
由零点判定定理可知，一定存在唯一的x0使得g?(x0)?0，且g(0)?0， ①当x0?0时，即g?(0)?1?m?0，此时只有一个零点0，不合题意； ②当x0?0时，即g?(0)?1?m?0，此时0为零点，满足有2个零点，m?1；
③当x0?0，g?(0)?1?m?0，则0?m?1时，x?0为其中一个零点，若满足有2个零点，则必须f(?1?2?m?1…0且0?m?1， e2， e第19页（共21页）
解可得1?m…1?
综上可得，m?1或1?m…1?2． e四、（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
?x??2x22．（10分）在同一平面直角坐标系xOy中，经过伸缩变换?后，曲线C1:x2?y2?1变
?y??y为曲线C2．
（1）求C2的参数方程；
（2）设A(2,1)，点P是C2上的动点，求?OAP面积的最大值，及此时P的坐标． ?x??2x【解答】解：（1）曲线C1:x2?y2?1，经过伸缩变换?后，变为曲线C2．
y??y?x2即：?y2?1．
4?x?2cos?转换为参数方程为：??y?sin?(?为参数）．
（2）由于A(2,1)，O(0,0) 则|OA?12?22?5．
1所以OA的直线方程为y?x，即x?2y?0．
2点P(2cos?,sin?)，
|2cos??2sin?|5|22cos(???5?4)|所以点P到直线x?2y?0的距离d?，
当???4时，dmax?225．
122?2 所以S?OAP??5?25所以点P(2,?2)． 2[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数f(x)?|x?a|?|x?（1）证明：f(x)…2；
1|． a第20页（共21页）
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