(2)图象法
2．函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式
①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．如举例说明2(1)．
(2)求参数值
在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．如举例说明2(3)．
注意：利用“奇函数在关于原点对称的区间上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0”的性质解决有关最值问题．
1．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)＋a，则f(－8)＝( ) A．－3－a B．3＋a C．－2 D．2 答案 C
解析 由题意得f(0)＝log31＋a＝0，所以a＝0.
所以当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)，又因为f(x)是奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2. 2．设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A．f(x)g(x)是偶函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 答案 C
解析 对于A，令h(x)＝f(x)g(x)，
则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)， ∴h(x)是奇函数，A错误； 对于B，令h(x)＝|f(x)|g(x)， 则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x) ＝|f(x)|·g(x)＝h(x)， ∴h(x)是偶函数，B错误； 对于C，令h(x)＝f(x)|g(x)|，
则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|， ∴h(x)是奇函数，C正确；
对于D，令h(x)＝|f(x)g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝h(x)， ∴h(x)为偶函数，D错误．
3．(2018·安徽合肥月考)已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( ) A．3 B．0 C．－1 D．－2 答案 B
解析 设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.故选B.
题型 二 函数的周期性
1．(2019·陕西咸阳模拟)已知奇函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，则( ) A．函数f(x)是以2为周期的周期函数 B．函数f(x)是以4为周期的周期函数 C．函数f(x＋1)是奇函数 D．函数f(x＋2)是偶函数 答案 B
解析 根据题意，定义在R上的函数f(x)是奇函数，则满足f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，又由f(1－x)＝f(1＋x)，则f(x＋2)＝f[1＋(x＋1)]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为4.
1
2．(2018·安徽淮南二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝，当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋ex，
fx则f(2018)＝________.
B．|f(x)|g(x)是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案 1
1
解析 因为定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝，
fx1
所以f(x＋4)＝＝f(x)，
fx＋2所以函数f(x)的周期为4. 当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋ex， 所以f(2018)＝f(504×4＋2)＝f(2) ＝
11
＝＝1. f00＋e01＋fx1
”改为“f(x＋1)＝”，其他条件不变，求fx1－fx
条件探究1 举例说明2中的“f(x＋2)＝f(2019)．
1＋f
1＋1－f1＋fx＋1
解 因为f(x＋2)＝＝1－fx＋11＋f
1－1－f＝
1－fx＋1＋fx1－fx－1＋fx
1
＝－，
fx
xx xx
所以f(x＋4)＝－
1
＝f(x)．
fx＋2
故函数f(x)的周期为4.
11
所以f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝－＝－. f1e＋1
条件探究2 举例说明2中的“e”改为“2”，其他条件不变，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)的值． 11111
解 因为函数f(x)的周期为4，且f(1)＝1＋2＝3，f(2)＝＝0＝1，f(3)＝＝，f(4)＝
23f0f1f2＝1，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018) ＝504×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2) 1
3＋1＋＋1?＋3＋1 ＝504×?3??＝2692.
函数周期性的判定与应用
(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T. (2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
1．(2019·温州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的最小正周期等于T，则下列函数的最小正周期一定T
等于的是( )
2
x?A．f(2x) B．f??2? C．2f(x) D．f(x2) 答案 A
?x＋T??＝f(2x)，所以函数f(2x)的周期是T；解析 由已知得f(x＋T)＝f(x)，所以f(2x＋T)＝f(2x)，即f?2??2??2
xx1xx
＋T?＝f??，即f?x＋2T?＝f??，所以函数f??的周期是2T；2f(x＋T)＝2f(x)，所以函数2f(x)的周f??2??2??2??2??2?期是T.函数f(x2)不一定是周期函数．
?x1－x，0≤x≤1，?2．若f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝?则
?cosπx，1 ?29??＝________. f?f??3?? 1 答案 4 29??5??5?5ππ1?f?29??＝f?1?＝18＋＝f＝cos解析 因为f(x)的周期为4，则f?＝f＝cos＝，所以f?3??3??3???3???2?233211 1－?＝. ×??2?4 3．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________． 答案 7 解析 因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0， 则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0. 又f(1)＝0， ∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0， 故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个． 题型 三 函数性质的综合应用 角度1 单调性与奇偶性结合 1?1．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1) ， B.?，? A.??33??33?12?12， D.?，? C.??23??23?
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