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湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学（理）
试题（解析版）
一、选择题（本大题共11小题，共44.0分）
1. 已知i为虚数单位，复数 的共扼复数在复平面内对应的点位于
A. 第一象限
【答案】B
B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】解： ， 故 ， ， ，
在第二象限， 故选：B．
将复数的分子分母同乘以 ，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标，判断出所在的象限． 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．
2. 对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法
抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 ， ， ，则
A.
【答案】D
B. C. D.
【解析】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的， 即 ． 故选：D．
根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论． 本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．
3. 曲线 与直线 及直线 所围成的封闭图形的面积为
A.
【答案】D
B.
C.
D.
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【解析】解：画图得三个交点分别为 ， ， ， 故曲线 与直线 及直线 所围成的封闭图形的面积为
，
故选：D．
求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线 与直线 及 围成的封闭图形的面积，即可求得结论
本题考查导数知识的运用，考查利用定积分求面积，考查学生的计算能力，属于中档题．
4. 若 ，则关于x、y的方程 所表示的曲线是
A. 焦点在x轴上的椭圆
C. 焦点在y轴上的双曲线
【答案】C
B. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在x轴上的双曲线
【解析】解： ，可得 ， ，
关于x、y的方程 所表示的曲线是：焦点在y轴上的双曲线． 故选：C．
利用K的范围，判断二次方程的形式，即可推出结果． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
5. 对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有 y， ，则 ，
， 是P，A，B，C四点共面的
A. 充分不必要条件
C. 充要条件
【答案】A
【解析】解：若P，A，B，C四点共面，
B. 必要不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
则满足 ，则 ， ， 不一定成立，即必要性不成立．
若 ， ， ，则满足 ，则P，A，B，C四点共面，即充分性成立， 故 ， ， 是P，A，B，C四点共面的充分不必要条件， 故选：A．
根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间四点共面的等价条件是解决本题的关键．
6. 已知P为椭圆
上的一点，M，N分别为圆 和圆 上的点，则
的最小值为
A. 5 B. 7 C. 13 D. 15
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【答案】B
【解析】解：依题意可得，椭圆
的焦点分别是两圆 和 的圆心，
所以根据椭圆的定义可得： ， 故选：B． 由题意可得：椭圆
的焦点分别是两圆 和 的圆心，再结合椭圆的
定义与圆的有关性质可得答案．
本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
7. 给出下列命题：
已知 ，则 ；
不构成空间的一个基底，则A、B、M、N共面； 、B、M、N为空间四点，若 已知 ，则 与任何向量不构成空间的一个基底；
可以与向量 构成空间另一个基底． 已知 是空间的一个基底，则基向量 正确命题个数是
A. 1
【答案】C
B. 2 C. 3 D. 4
【解析】解：则 故 若 ， ， ，故 正确．
不构成空间的一个基底，则 这3个向量共面，故A、B、M、N共面， 若 故 正确．
与 当 时，若 这3个向量不共面，则 构成空间的一个基底，故 不正确． ，则 与 若 是空间的一个基底，设 这3个向量不共面， 故 构成空间的另一个基底，故 正确． 综上， 正确， 不正确． 故选：C．
对于 ，由条件可得 ，把等式的左边展开化简可得它和灯饰的右边相等，故 正确． 这3个向量共面，故A、B、M、N共面，故 正确． 对于 ，由条件可得
与 对于 ，若 这3个向量不共面，则 构成空间的一个基底，故 不正确． 与 对于 ，由条件可得 这3个向量不共面，能构成空间的另一个基底，故 正确． 本题主要考查空间向量基本定理及其意义，三个向量能构成空间的基底的条件是，这三个向量不共面．
8. 已知命题p： ， ，命题q： ， ，则下列命题中为真命题的是
A.
【答案】C
B. ￢ C. ￢ D. ￢ ￢
【解析】解：命题p： ， ，利用指数函数的性质可得：是真命题；
命题q：由 ，化为： ，解得 ， ，因此q是假命题．
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则下列命题中为真命题的是 ￢ ， 故选：C．
命题p：利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由 ，化为：解得 ， ， ，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
本题考查了函数的性质、方程的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9. 命题“数列 前n项和是 的形式，则数列 为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命
题这三个命题中，真命题的个数为
A. 1
【答案】C
B. 2 C. 3 D. 0
【解析】解：命题“数列 前n项和是 的形式，则数列 为等差数列”是真命题， 故逆否命题也是真命题；
逆命题“若数列 为等差数列，则数列 前n项和是 的形式”为真命题， 故否命题也是真命题， 故选：C．
根据等差数列的前n项和是 的形式，逐一分析原命题的逆命题，否命题，逆否命题的真假，可得答案．
本题以命题的真假判断应用为载体，考查了四种命题，等差数列的性质等知识点，难度中档．
10. 某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图，社区准备从4
种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域随机用一种颜色的花卉，且相邻区域 用公共边的 所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有
A. 96
【答案】C
B. 114 C. 168 D. 240
【解析】解：根据题意，分4步进行分析： 对于e区域，有4种花卉可选，即有4种情况， 对于c区域，与e区域相邻，有3种情况， 对于d区域，与e、c区域相邻，有2种情况， 对于a、b区域，分2种情况讨论：
若其与d区域种植的相同，则b区域有3种花卉可选，即有3种情况，此时a、b区域有 种情况， 若a区域与d区域种植的步相同，则a区域有2种情况，b区域有2种情况，此时a、b区域有 种情况，
则a、b区域共有 种情况，
则不同种植方法的种数共有 种； 故选：C．
根据题意，依次分析e、c、d以及a、b区域的选择情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意分析图形中区域相邻的情况．
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