朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（一） 数学学科测试（理工类） 2010.4第I卷（选择题 共40分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数
111+i1-i1i （B） （C）－ （D） +等于 （A）
1+i22222（2）右图是2010年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两
名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0～9中的 甲 乙
一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选
079 手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有
54551844647 （A）a1>a2 （B）a2>a1
m93 （C）a1=a2 （D）a1，a2的大小与m的值有关 （3）下列函数中，最小正周期为?，且图象关于直线x??对称的是 3?x?（A）y?sin(2x?) （B）y?sin(?)
623??（C）y?sin(2x?) （D）y?sin(2x?)
363 2 正视图 2
（4）一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方 ．．．．形；③圆；④椭圆. 其中正确的是 （A）①② （B） ②③ （C）③④ （D） ①④
侧视图 22 2 （5）在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)?x?2ax?b?π 有零点的概
率为 （A）
7311 （B） （C） （D） 8424x2y2（6）已知点P(3,?4)是双曲线2?2?1 (a?0, b?0)渐近线上的一点，E,F是左、右两个焦点，
ab????????若EP?FP?0，则双曲线方程为 x2y2x2y2??1 （B）??1 （A）3443x2y2x2y2??1 （D）??1 （C）
916169（7）设min{p, q}表示p，q两者中的较小的一个，若函数f(x)=min{3-，则满足f(x)<1的x的集合为
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1
1log2x, log2x} 2（A）(0, 2) （B）(0, +￥) （C）(0, 2)U(16,+ ) （D）(
（8）一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为2，二面角D-AC-B的
1, + ) 161，则下列论断正确的是 3（A）空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3π （B）空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4π
余弦值为
（C）空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为33π （D）不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上
第II卷（非选择题 共110分）
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）已知圆的极坐标方程为??2cos?，则圆心的直角坐标是 ；半径长
为 ．
（10）圆x?y?4被直线3x?y?23?0截得的劣弧所对的圆心角的大小为 .
22 1)，b?(1（11）已知向量a?(3sin?，， cos?)，则a?b的最大值为 .
（12）如图，圆O是?ABC的外接圆，过点C的切线交AB
的延长线于点D，CD?27，AB?BC?3.则BD 的长为 ；AC的长为 ．
CDOBA
（13）右边程序框图的程序执行后输出的结果是 .
（14）一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后
每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一
个是 ?x，另一个是x?3．设第n次生成的数的个数为an， 则数列?an?的前n项和Sn? ；若x?1，前n次 生成的所有数中不同的数的个数为Tn，则Tn? ． ．．．
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开始 n=1 S=0 n=n+2 S=S+n n≤50? 否 输出S 是 结束 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本小题满分13分）
在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C?（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）若c?a?5?10，求?ABC的面积.
(16) （本小题满分13分）
在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是
53. ?，sinA?541，31.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投篮命中与否均互不影响. 2（Ⅰ）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；
（Ⅱ）若投篮命中一次得1分，否则得0分. 用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．
(17) （本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点.
（Ⅰ）求证：CD∥平面A1EB； （Ⅱ）求证：AB1?平面A1EB；
（Ⅲ）求直线B1E与平面AA1C1C所成角的正弦值.
(18)（本小题满分13分）
A D B A1 B1 C1 E C mx3?ax2?(1?b2)x，m, a, b?R． 已知函数f(x)?3（Ⅰ）求函数f(x)的导函数f?(x)；
（Ⅱ）当m?1时，若函数f(x)是R上的增函数，求z?a?b的最小值；
（Ⅲ）当a?1，b?2时，函数f(x)在(2, ??)上存在单调递增区间，求m的取值范围．
(19)（本小题满分13分）
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已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为椭圆C在第一象限相切于点M． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求直线l的方程以及点M的坐标；
13，且经过点(?1, )，过点P(2, 1)的直线l与22?????????????2（Ⅲ）是否存在过点P的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B，满足PA?PB?PM？若存在，求直
线l1的方程；若不存在，请说明理由．
(20)（本小题满分14分）
若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列{an}是调和数列，对于各项都是正数的数列{xn}，满足xn（Ⅰ）证明数列{xn}是等比数列；
（Ⅱ）把数列{xn}中所有项按如图所示的规律排成一个三角形
数表，当x3?8, x7?128时，求第m行各数的和； （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{xn}，证明：
an?xn?1an?1?xn?2an?2(n?N?)．
x1x2 x3x4 x5 x6x7 x8 x9 x10 ???x?1nn1x1?1x2?1??????n?． 23x2?1x3?1xn?1?12（考生务必将第Ⅱ卷所有题目的答案写在答题卡上，在试卷上作答无效）
朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（一）
数学测试（理工类）答案 2010.4
一、选择题: 题号 答案 （1） D （2） B （3） D （4） B （5） B （6） C （7） C （8） A 二、填空题: 题号 （9） 答案 （10） 1 （11） 2 （12） 4 （13） 625 （14） (1,0) π 337 22n?1 ì1 (n=1),???í3 (n=2), ?????4n-6 (n≥3). 三、解答题:
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