第3章 导数及其应用
全国卷五年考情图解 1.考查形式 本章内容在高考中一般是“一大一小”． 2．考查内容 (1)导数的几何意义一般在选择题或填空题中考查，有时与函数的性质相结合出现在压轴小题中． (2)解答题一般都是两问的题目，第一问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点等，属于基础问题．第二问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参数的取值范围，函数的高考命题规律把握 零点等问题． 3．备考策略 (1)熟练掌握导数的运算公式，重点研究导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与极(最)值、导数与不等式、导数与函数的零点等问题． (2)加强数形结合、分类讨论等数学思想的应用. 第一节 导数的概念及运算 [最新考纲] 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求123
函数y＝C(C为常数)，y＝x ，y＝x，y＝x，y＝，y＝x的导数.3.能利用基本初等函数
x的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋
b)的复合函数)的导数．
1．导数与导函数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，用f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim
x1→x0
(2)导函数
如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)
1
fx1－fx0fx0＋Δx－fx0
＝lim .
x1－x0ΔxΔx→0
＝lim
Δx→0
fx＋Δx－fx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通
Δx常也简称为导数．
2．导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数 f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x 4．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
f′(x)＝nxn－1 f′(x)＝cos_x f′(x)＝－sin_x f′(x)＝axln_a(a＞0) f′(x)＝ex f′(x)＝ xln af′(x)＝ x11(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)?
?fx?′＝f′xgx－fxg′x(g(x)≠0)．
?2
[gx]?gx?
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为yx′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)·φ′(x)．
[常用结论]
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( ) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
2
(4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编
1．函数y＝xcos x－sin x的导数为( ) A．xsin x C．xcos x
B．－xsin x D．－xcos x
B [y′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x．] 2．曲线y＝x＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ) A．－9 C．9
3
2
3
B．－3 D．15
3
C [因为y＝x＋11，所以y′＝3x，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)．令x＝0，得y＝9.故选C.]
3．函数y＝f(x)的图像如图，则导函数f′(x)的大致图像为
( )
A B C D
B [由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＜0.]
4．在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________m/s，加速度a＝________m/s.
－9.8t＋6.5 －9.8 [v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.]
2
2
考点1 导数的计算
(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．
(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误．
已知函数解析式求函数的导数 求下列各函数的导数： (1)y＝x2x；(2)y＝tan x； (3)y＝2sin－1.
2
33321
[解] (1)先变形：y＝2x，再求导：y′＝(2x)′＝x. 2222
3
2
xsin x(2)先变形：y＝，再求导：
cos xy′＝?
?sin x?′＝sin x′·cos x－sin x·cos x′＝1.
?22
cosxcosx?cos x?
(3)先变形：y＝－cos x，
再求导：y′＝－(cos x)′＝－(－sin x)＝sin x.
[逆向问题] 已知f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，则x0＝________. 1 [因为f(x)＝x(2 017＋ln x)，
所以f′(x)＝2 017＋ln x＋1＝2 018＋ln x， 又f′(x0)＝2 018，
所以2 018＋ln x0＝2 018，所以x0＝1.]
求导之前先对函数进行化简减少运算量．如本例(1)(3)． 抽象函数求导
已知f(x)＝x＋2xf′(1)，则f′(0)＝________. －4 [∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)， ∴f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4.]
赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f′(1)为常数，然后借助导数运算法则计算f′(x)，最后分别令x＝1，x＝0代入f′(x)求解即可．
1.已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________． 1xxe [由题意得f′(x)＝eln x＋e·，则f′(1)＝e.]
2
x2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________.
912
－ [因为f(x)＝x＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)4x199＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所以f′(2)＝－.]
224
3．求下列函数的导数 (1)y＝3e－2＋e； (2)y＝
ln x； x2＋1
xxx2
2x－1
(3)y＝ln . 2x＋1
[解] (1)y′＝(3e)′－(2)′＋e′＝(3)′e＋3(e)′－(2)′＝3eln 3＋3e－2ln 2
＝(ln 3＋1)·(3e)－2ln 2.
4
xxxxxxxxxxxxxxxln x′x＋1－ln x(2)y′＝
x2＋12
1＝
2
x2＋1′
xx2＋1－2xln xx2＋1
2
x2＋1－2x2ln x＝.
xx2＋12
?2x－1?′＝[ln(2x－1)－ln(2x＋1)]′
(3)y′＝?ln ?
?2x＋1?
＝[ln(2x－1)]′－[ln(2x＋1)]′ ＝＝
11·(2x－1)′－·(2x＋1)′ 2x－12x＋1224
－＝2. 2x－12x＋14x－1考点2 导数的几何意义
导数几何意义的应用类型及求解思路
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝
f′(x0)．
(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由
??y1＝fx1，?
?y0－y1＝f′x1?
x0－x1
求解即可．
(3)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
求切线方程
(1)(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x＋x)e在点(0,0)处的切线方程为________． (2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线
2
xl的方程为________．
(1)3x－y＝0 (2)x－y－1＝0 [(1)∵y′＝3(x＋3x＋1)e，∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝3，∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y＝3x.
(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上， ∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x， ∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
??y0＝x0ln x0，
∴由?
??y0＋1＝1＋ln x0
2
xx0，
解得x0＝1，y0＝0.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.]
(1)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标，在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围；(2)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别．如本例(1)是“在点(0,0)”，本例(2)是“过点(0，－1)”，要注意二者的区别．
5
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