2020年中考数学相似三角形的概念和判定专题复习

2020年中考数学相似三角形的概念和判定专题复习

ADBEC

证明：在AB上截取AD?A1B1，作DEPBC

∴?ADE??ABC??B1，∴?ADE??A1B1C1 ∵DEPBC ∴?ABC∽?ADE

∴?ABC∽?A1B1C1

相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似（两角对应相等，两个三角形相似）.

例2-3如图，在?ABC和?A1B1C1中，?A??A1，,

ABAC?， 求证：?ABC∽?A1B1C1 A1B1A1C1AA1BADBECB1C1

C

证明：在AB、AC上分别截取AD?A1B1,AE?AC11，联结DE

∵?A??A1 ∴?ADE??A1B1C1

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∵

ABACABAC? ∴ ∴DEPBC, ?A1B1A1C1ADAE∴?ABC∽?ADE ∴?ABC∽?A1B1C1

相似三角形判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）

例2-4如图，在?ABC和?A1B1C1中，

ABACBC，求证：?ABC∽?A1B1C1 ??A1B1ACBC1111AA1BADBECB1C1

C

证明：在AB上截取AD?A1B1,AE?AC11，联结DE

∵

ABACABAC? ∴ ∴DEPBC， ?A1B1A1C1ADAEABACBCDEABACBC??? 即， ∴DE?B1C1 ??A1B1A1C1B1C1B1C1ADAEDE∴

∴?ADE??A1B1C1

∵DEPBC ∴?ABC∽?ADE， ∴?ABC∽?A1B1C1

相似三角形判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那

么这两个三角形相似（三边对应成比例，两个三角形相似）

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o例2-5如图，在Rt?ABC和Rt?A1B1C1中，?C??C1?90，ABAC?，求证：?ABCA1B1A1C1∽?A1B1C1

A证明：设

ABAC??k，则AB?kA1B1,AC?kAC11 A1B1AC11A1在Rt?ABC和Rt?A1B1C1中,

BBC?AB?AC?kAB?kA1C?kB1C

2222211221221CB1C1∴BC?kB1C1 ∴

ABACBC?? A1B1ACB1C111∴?ABC∽?A1B1C1

相似三角形判定定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似（斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） （二）限时巩固、练一练

1．如图，在?ABC中，P是AC上一点，联结BP，要使?ABP∽?ACB，还需要补充一．个条件.这个条件可以是 ． ．

APBooC

2．在?ABC和?DEF中，?A?36,AB?12,AC?15,?D?36,DE?16,则当DF? 时，?ABC ∽?DEF．

3．一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形 相似．(填“一定”、“不一定”或“一定不”)

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参考答案：1．?ABP??C或?APB??ABC或

APAB； 2．20； 3．不一定 ?ABAC

相似三角形

（一）典例分析，学一学

例3-1如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△ABC相似的三角形是 （1）△DBE

（2）△ADE

（3） △ABD （4）△BDC

教学说明：∵AB=AC, ∠A=36° ∴?C??ABC?72o 又∵BD平分∠ABC

∴?ABD??CBD?36o ∴?A??CBD?36o ∴?ABC∽?BDC ∵DE∥BC, ∴?ABC∽?ADE

而?BED??ADB?180o?72o?108o与?ABC中三个角都不相同，

∴?DBE,?ABD与?ABC不相似 参考答案：（2）（4）

例3-2如图，△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，∠EDF=∠B， 求证：（1）△BED∽△CDF； （2）BD?CD=BE?CF．

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