上饶市2020届六校高三第一次联考
文科数学试卷
第Ⅰ卷
满分：150分 考试时间：120分钟 主命题：吕忠（上饶一中） 副命题：叶升（上饶一中） 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求． 1．已知集合A?{1,2,?1}，集合B??y|y?x2,x?A?，则A?B?（ ） A．{1}
B．{1,2,4}
C．{?1,1,2,4}
D．{1,4}
2．若复数
a?i1?i(a?R)为纯虚数，则|3?ai|?（ ） A．13 B．13
C．10
D．10 3．函数f(x)???2?1?ex?1???cosx图象的大致形状是（ ） A． B．
C．
D．
4．给出以下命题：
①已知命题p:?x?R,x2?x?1?0，则?p:?x20?R,x0?x0?1?0；
②己知a,b,c?R，a?b是ac2?bc2的充要条件； ③命题“若sin??12，则???6的否命题为真命题”． 在这3个命题中，其中真命题的个数为（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
5．设函数f(x)?log0.22x，若a?f?log32?,b?f?log52?,c?f?2?，则a,b,c的大小关系为（ A．a?b?c B．b?c?a C．c?a?b D．b?a?c
）
rr2?rrrrrrr6．已知非零向量a，b满足a|?k|b|，且b?(a?b)，若a，b的夹角为，则实数k的值为（ ）
3A．4
B．3
C．2
D．
1 27．甲、乙两班在我校举行的“不忘初心，牢记使命”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数a、b满足：x,a,b,y成等比数列，则2a?b的最小值为（ ）
A．6
B．8
C．22 D．42 x2y2228．若双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线被圆(x?2)?y?4所截得的弦长为22，则双
ab曲线C的离心率为（ ） A．2
B．3 C．2
D．23 39．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且面积为S，若bcosC?ccosB?2acosA，
S?12b?a2?c2?，则角B等于（ ） ?4B．
A．
? 25? 12C．
7? 12D．
? 310．已知三棱锥A?BCD中，CD?平面ABC，Rt△ABC中两直角边AB?5，AC?3，若三棱锥的体积为10，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．50?
B．25?
C．
25? 2D．
25? 4
11．已知函数f(x)?2sin(ax??)???0,|?|?????2??，过点A?????????5??,0?，B?,2?，当x??,?，?12??3??1212????g(x)?2mf(x)?cos?4x??的最大值为9，则m的值为（ ）
3??A．2
B．
5 2xC．2和
5 2D．?2
12．已知函数f(x)?(2x?1)e?mx?m(m??1)，若有且仅有两个整数使得f(x)?0，则实数m的取值范围是（ ） A．??5??3,?2? ?2e3e?B．??8??5,?2? ?2e3e?C．??5??1,?2? ?23e?D．??1,???5?? 2e?第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分
13．函数f(x)?ecosx的图象在点(0, f(0))处的切线方程为__________．
x?x?y?2?0y?1?14．设变量x, y满足约束条件?x?y?4?0，则的最大值是________．
x?1?4x?y?4?0?15．已知等比数列?an?的公比不为1，且?an?前n项和为Sn，若满足a2,2a5,3a8成等差数列，则
S3?________． S616．如图，在矩形OABC与扇形OCD拼接而成的平面图形中，OA?3，AB?5，?COD??6，点E在
弧CD上，F在AB上，?EOF?最大值时cosx?________．
?3．设?FOC?x，则当平面区域OECBF（阴影部分）的面积取到
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤，共70分．
17．已知等差数列?an?的前n项和为Sn，且S5?35，a2?a1，a4?a2，a1?a2成等比数列．
（1）求数列?an?的通项公式； （2）若bn?1n?N*?，求数列?bn?的前n项和Tn． ?anan?118．如图所示，在四棱锥S?ABCD中，?BAD??CDA??CBD?2?ABD?90?平面SBD?平面
ABCD，且△SBD为边长为2的等边三角形，过S作ST∥BD，使得四边形STDB为菱形，连接TA，
TD，TC．
（1）求证：DS?平面TBC； （2）求多面体ABCDTS的体积．
19．环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准：
空气污染指数 (0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,300] (300,??] 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考查了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月11日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号为字母的，前13个视为单号，后13个视为双号）．
（1）某人计划11月份开车出行，求因空气污染被限号出行的概率；
（2）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行三年来的11月份共90天的空气质量进行统计，其结果如表：
空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 16 39 18 10 5 2 根据限行前6年180天与限行后90天的数据，计算并填写2?2列联表，并回答是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关． 限行前 限行后 合计 参考数据：
空气质量优良 空气质量污染 合计 P?K2?k0? 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 22.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 n(ad?bc)2K?其中n?a?b?c?d
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)20．己知抛物线C:y?2px(p?0)的焦点为F，P为抛物线上一点，当P的横坐标为1时，|PF|?（1）求抛物线C的方程；
（2）已知过定点M(m,0)的直线l:x?ky?m与抛物线C相交于A，B两点，若定值，求m的值．
21．已知函数f(x)?lnx?x，g(x)?23． 211?恒为
|AM|2|BM|212ax?ax，h(x)?mxex?1． 2（1）讨论F(x)?g(x)?f(x)的单调性；
（2）若不等式h(x)?f(x)对任意x?(0,??)恒成立，求m的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题做作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做题时请写清题号． 22．选修4-4：极坐标与参数方程
?x?1?cos?在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为?（?为参数），以O为极点，O轴的正半轴
y?sin??为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为?sin???????3??．
6?2
（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程； （2）若A、B为曲线C上的两点，且?AOB?23．选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)?|2x?1|?|x?1|． （1）求不等式f(x)?x?2的解集；
?3，求|OA|?|OB|的最大值．
（2）若函数y?f(x)的最小值记为m，设a?0,b?0，且有a?b?m．求
12?的最小值． a?1b?2上饶市2020届六校高三第一次联考
数学答案（文科）
一、选择题（12×5=60分） 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 D 6 C 7 D 8 C 9 B 10 A 11 B 12 A 二、填空题（4×5=20分）
13．x?y?1?0 14．2 15．
34 16． 45三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（1）设等差数列?an?的公差为d，
5?4?5a?d?35?1由题意，?，解得：a1?3，d?2． 22?4d?d?2a1?d??∴an?3?2(n?1)?2n?1； （2）∵bn?111?11?????? anan?1(2n?1)(2n?3)2?2n?12n?3?∴Tn?1?111111?111n?????????? ??2?35572n?12n?3?232n?36n?918．（1）证明：∵?CBD?90?，∴CB?BD，
又平面SBDI平面ABCD?BD，平面SBD?平面ABCD， 故CB?平面SBD；
又SD?平面SBD，故CB?DS； 又四边形STDB为菱形，∴DS?BT ∴DS?平面TBC （2）∵SBSTD?2S△BDS?2?13?2?2??3 22∴VABCDTS?VA?BSTD?VC?BSTD??1?26?2 ???3?3?22?19．（1）由频率分布直方图可知，空气重度污染和严重污染的概率应为
1?(0.003?0.004?0.005?0.006)?50?0.1
因为限行分单双号，某人因空气污染被限号出行的概率为0.05 （2）列联表如下： 空气质量优、良 空气质量污染 合计 90 35 125 2限行前 90 限行后 55 合计 145 180 90 270 270?(90?35?90?55)2?2.979?2.706， 由表中数据可得K?180?90?145?125所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关． 20．解：（1）抛物线C的准线方程为x?p?p?，焦点F?,0? 2?2?当P的横坐标为1时，|PF|?23p3 ∴1??，解得p?1 222∴抛物线C的方程为y?2x
（2）由直线l的方程为x?ky?m与抛物线C:y?2x联立， 消去x得：y?2ky?2m?0，则y1y2??2m，y1?y2?2k，
22x1?ky1?m，x2?ky2?m，
111111?????， 2222222222|AM||BM|?x1?m??y1?x2?m??y2?k?1?y1?k?1?y2
2y1?y2??2y1y2?y12?y24k2?4mk2?m，对任意k?R恒为定值， ?2??2?22222222?k?1?y1y2?k?1?y1y2?k?1??4m?k?1??m2当m?1，此时
11??1．∴m?1，满足题意．
|AM|2|BM|221．（1）F(x)?12ax?(a?1)x?lnx， 21(ax?1)(x?1)?(x?0) xxF?(x)?ax?a?1?①当a?0时，F?(x)?0，所以F(x)在(0,??)上单调递减； ②当a?0时，可知F(x)在?0,
?
?
1??1?,??上单调递减，在???上单调递增．
a??a?x（2）不等式h(x)?f(x)对任意x?(0,??)恒成立，即mxe?1?lnx?x恒成立， 因为x?0，所以m?lnx?x?1
xex令G(x)?lnx?x?1 xxeG?(x)?(x?1)(?lnx?x)
x2ex1?1?0． x?1??e?1?0，p(1)??1?0， e令p(x)??lnx?x，p?(x)??故p(x)在(0,??)上单调递减，且p???1?故存在x0??,1?使得p?x0???lnx0?x0?0， 即lnx0?x0?0即x0?e?x0?1??e?，
当x??0,x0?时，p(x)?0，G?(x)?0； 当x??x0,???，p(x)?0G?(x)?0； 所以G(x)max?G?x0??lnx0?x0?11??1
x0ex0e?x0?ex0
故实数m的取值范围是m?1．
22．解（1）C:??2cos?，l:x?3y?3?0 （2）不妨设|OA|?|2cos?|，|OB|?2cos???????? 3?则|OA|?|OB|?|2cos?|?|2cos??????????|?2cos??2cos?????
3??3??????23sin?????23 3??∴|OA|?|OB|的最大值为23 ???3x,x??1,?1?23．解（1）因为f?x??|2x?1|?|x?1|???x?2,?1?x?,
2?1?3x,x?.??2从图可知满足不等式f?x??x?2的解集为[0,1]．
（2）由图可知函数y?f(x)的最小值为
33，即m?． 22所以a?b?39，从而a?1?b?2?， 22从而
1222?2??b?22(a?1)???1??[(a?1)?(b?2)]??????3???? a?1b?29a?1b?29a?1b?2??????2b?22(a?1)6?42…[3?2?]?． 9a?1b?29
当且仅当
b?22(a?1)时，等号成立， ?a?1b?2∴
126?42?的最小值为．
9a?1b?2
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