∴DM＝AB＝，BM＝CM＝1，
易证四边形BMJN是矩形，∴JN＝BM＝1， ∵∠FDJ+∠EDM＝90°，∠EDM+∠DEM＝90°， ∴∠FDJ＝∠DEM，∵∠FJD＝∠DME＝90°， ∴△FJD≌△DME（AAS），∴FJ＝DM＝
，∴FN＝FJ+JN＝1+
+1），
+1， ，
∴点F在直线l上运动（直线l与直线AB之间的距离为
根据垂线段最短可知，当AF⊥直线l时，AF的值最短，最小值为
9、（2019秋?锡山区期中）已知：如图，△ABC是边长为6的等边三角形，直线AF⊥BC于F，点D是直线AF上一动点，以BD为边在BD的右侧作等边△BDE，连接EF，则EF的最小值为
．
解：如图，取AB中点H，连接DH，∵△ABC，△BDE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BD＝BE，∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠EBC， ∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC，∴BF＝BC＝AB＝3，∠BAF＝30°，
∵H是AB中点，∴AH＝BH＝AB＝BF＝3，且∠ABD＝∠EBC，BD＝BE，∴△BHD≌△BFE（SAS） ∴EF＝DH，∴当DH取最小值时，EF有最小值，当DH⊥AF时，DH有最小值，∴DH＝AH＝， ∴EF的最小值为，
10、（2019?台州模拟）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝a（a＞1），E是BC上的一点，且BE＝1，点F是边AB上的任意一点．连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，得到线段EG． 在点F从点B运动到点A的过程中，若要点G能落在对角线AC上，则a的最大值为 ．
解：如图，当点G落在对角线AC上，过点G作GH⊥BC于点H，
∵△EFB≌△GEH，∴GH＝BE＝1，EH＝BF，∴CH＝BC﹣BE﹣EH＝a﹣1﹣BF，
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∵△CHG∽△CBA，∴，∴，∴BF＝
≤4，∴≤a≤
∴a的最大值为
∵点F是边AB上的任意一点，∴0≤BF≤AB，∴0≤
11、如图1，四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE、 BG，则2BG+BE的最小值为4
．
解：延长BE、GD相交于点H．
∵矩形ECGF、矩形ABCD，∴∠ECG＝∠BCD＝90°，∴∠DCG＝∠BCE ∵CD：CB＝2：4＝1：2，CG：CE＝1：2， ∴CD：CB＝CG：CE， ∵∠DCG＝∠BCE ∴△DCG∽△BCE，∴
，∠BEC＝∠DGC，∴DG＝BE
＝
＝2，
作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M．易证△ECN∽△CGM，∴∵EN＝AB＝2，∴CM＝1，∴点G的运动轨迹是直线MG，
作点D关于直线GM的对称点G′，连接BG′交GM于G，此时BG+GD的值最小，最小值＝BG′ ∵DG＝BE，∴BE＝2DG，∴2BG+BE＝2BG+2DG＝2（BG+DG） ∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值． ∵BG′＝
＝2
，∴2BG+BE的最小值为4
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