◆等积变换 等积变换 具体内容 定义 性质 在图形运动中，保持图形面积大小不变的变换叫等积变换。 ①等底、等高的三角形面积相等。 ②三角形的中线分原来的三角形为两个等积三角形。即等底、同高的三角形面积相等。 ③过三角形一个顶点作相应的底边的平行线，平行线上的任意一点与底边两端点联结起来组成的一切三角形面积相等。 ④等底三角形面积之比等于其高之比；等高三角形面积之比等于其底之比。 证明思路 ①利用中点、中线的特性，证明等积问题。 ②利用“平行线间的距离处处相等”证等高，证等积。 ③寻找等积三角形的思考方法：坐在底线上，眼望平行线，看出等高线，寻找等积形。
25
◆在直角三角形中的三角函数
1、定义
图形 名称 表达式 定义域 值域 增减性 增函数 减函数 波形 正弦=对边/斜边 sinA=a/c 90O?A?0 O （0，1） O 90?A?0余弦=邻边/斜边 cosA=b/c O 90?A?0正切=对边/邻边 tanA=a/b O 90?A?0余切=邻边/对边 cotA=b/a O 90?A?0正割=斜边/邻边 secA=c/b O 90?A?0余割=斜边/对边 cscA=c/a （1，0） （0，不存在） 增函数 （不存在，0） 减函数 （1，不存在） 增函数 （不存在，1） 减函数 巧记三角函数定义：初中所学的三角函数有正弦、余弦、正切、余切，它们实际是三角形边的比值，可以把两个字用／隔开，再用下面的一句话记定义：一位不高明的厨子教徒弟杀鱼，说了这么一句话：正对鱼磷（余邻）直刀切。正：正弦或正切，对：对边即正是对；余：余弦或余弦，邻：邻边即余是邻；切是直角边。
三角函数的增减性：正增余减。
2、特殊角的三角函数值
角度 函数 0 O 0 15 O (√6-√2)/4 30 O 1/2 45 O √2/2 60 O √3/2 75 O (√6+√2)/4 90 O 1 正弦 余弦 1 (√6+√2)/4 √3/2 √2/2 1/2 (√6-√2)/4 0 正切 余切 正割 余割 0 不存在 1 不存在 2-√3 2-√3 (√6-√2) (√6+√2) √3/3 √3 2√3/3 2 1 1 √2 √2 √3 √3/3 2 2√3/3 2-√3 2-√3 (√6+√2) (√6-√2) 不存在 0 不存在 1 特殊三角函数值记忆： ①规律记忆法：
角度 函数 0 O √0/2 √4/2 √0/3 不存在 30 O √1/2 √3/2 √3/3 √27/3 45 O √2/2 √2/2 √9/3 √9/3 60 O √3/2 √1/2 √27/3 √3/3 90 O √4/2 √0/2 不存在 0 26
正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 1 不存在 2√3/3 2 √2 √2 2 2√3/3 不存在 1 ②歌诀记忆法：首先记住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2；正切、余切的分母都是3。分子记口诀“123，321，三九二十七”既可。
③形象记忆法：借助两块三角板
——锐角为30O角，斜边为1，30O角所对边就是1/2，另一直角边就是√3/2；联系图形就可得出30O角、60O角的所有三角函数值。
——锐角为45O角，斜边为1，两直角边相等，都是√2/2；联系图形就可得出45O角的所有三角函数值。
3、三角函数的基本关系式
正六边形记忆法
条件：一个函数对应一个顶点，且位置是固定的，图形左边为正弦、正切、正割；右边
为余弦、余切、余割；图形上方为正弦、余弦；中间为正切、余切；下方为
正割、
余割。即“左 正右余，上弦中切下割”。 结论：
①各倒立三角形上面两个顶点处函数的平方和等于下面这个顶点处函数的平方和。
即：平方关系sin2α+cos2α=1；1+tan2α=sec2α；1+cos2α=csc2α ②各对角线上的两函数之积等于1。即：
倒数关系tanαcotα=1；sinαcscα=1；cosαsecα=1 ③任一顶点处函数均等于相邻两函数之积。即：
商数关系：sinα=tanαcosα； cosα=sinαcotα； cotα=cosαcscα；
cscα=secαcotα； secα=tanαcscα； tanα=sinαsecα
27
三角函数的基本关系式
同角 倒数关系 商数关系 平方关系 互余关系 两角 tanαcotα=1；sinαcscα=1；cosαsecα=1 tanα=sinα/cosα；cotα=cosα/sinα sin2α+cos2α=1；1+tan2α=sec2α；1+cos2α=csc2α sinα=cos(90-α)；cosα=sin(90-α)； tanα=cot(90-α) sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ 两角和与差 cos（α±β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α±β）=（tanα±tanβ）/（1+tanαtanβ） cot（α±β）=（cotαcotβ+1）/（cotβ±cotα） a sinα+bcosα= a2+b2 sin（α+β）；tanβ=b/a 两倍角 Sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α tan2α=2tanα/（1-tan2α） cot2α=(cot2α-1)/2cotα 半角 sinα/2 =√(1-cosα)/2 cosα/2 =√(1+cosα)/2 tanα/2 =√(1-cosα)/(1+cosα)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα cotα/2 =√(1+cosα)/(1-cosα)=sinα/((1-cosα)=(1+cosα)/sinα 万能公式 Sin2α=2tanα/(1+tan2α) Cos2α=(1-tan2α)/ (1+tan2α) tan2α=2tanα/(1-tan2α) 积化和差 sinαcosβ=1/2[sin（α+β）+sin（α-β）] cosαsinβ=1/2[sin（α+β）-sin（α-β）] cosαcosβ=1/2[cos（α+β）+cos（α-β）] sinαsinβ=1/2[cos（α+β）-cos（α-β）] 和差化积 sinα+sinβ=2sin(α+β)/2cos(α-β)/2 sinα-sinβ=2cos(α+β)/2sin(α-β)/2 cosα+cosβ=2cos(α+β)/2cos(α-β)2 cosα-cosβ=-2sin（α+β）/2+sin(α-β)/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB ctgA-ctgB=-sin(A+B)/sinAsinB
28
相关推荐：
loading