方案设计
三.解答题
1. （2019?湖北黄石?7分）图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
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（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC，点B在小正方形顶点上； （2）在图2中画出以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8．
【分析】（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B；
（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；
中@国教育%出版~*网
【解答】解；（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B；
来@^*源:%zzstep.&com]
（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；
【点评】本题考查尺规作图，等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形和直角三角形的尺规作图方法是解题的关键．
2. （2019?湖南怀化?12分）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：
次数 王方 李明 1 7 8 2 10 9 3 9 8 4 8 9 5 6 8 6 9 8 中国%教@*育出版网&]7 9 9
8 7 8 9 10 10 10 10 8 （1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：王方10次射箭得分情况
环数 频数 频率 6 1 0.1 7 2 0.2 8 1 0.1 9 3 0.3 10 3 0.3 李明10次射箭得分情况
环数 频数 频率 6 0 0 7 0 0 8 6 0.6 来~%源#:中国教育出版网&]9 3 0.3 10 1 0.1 （2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；
[ww&w.~z*zs@tep.co#m]（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．【分析】（1）根据各组的频数除以10即可得到结论； （2）根据加权平均数的定义即可得到结论； （3）根据方差公式即可得到结论． 【解答】解：（1）
环数 频数 频率 6 1 0.1 7 2 0.2 8 1 0.1
9 3 0.3 10 3 0.3 李明10次射箭得分情况
环数 频数 频率 6 0 0 7 0 0 8 6 0.6 9 3 0.3 10 1 0.1 （48+27+10）＝
（2）王方的平均数＝8.5；
（6+14+8+27+30）＝8.5；李明的平均数＝
（3）∵S
2
＝[（6﹣8.5）+2（7﹣8.5）+（8﹣8.5）+3（9﹣8.5）+3（10﹣8.5）
2222
]＝1.85；
＝
[6（8﹣8.5）+3（9﹣8.5）+（10﹣8.5）＝0.35；
，
2
2
2
S∵S
＞S
∴应选派李明参加比赛合适．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 3.
[w~ww.z%&zs#tep.c^om]方案设计
三.解答题
来*^源:#zzs@tep.c~om]1. （2019?河南?9分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元． （1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为W元，根据题意得到由题意可知，z≥（30﹣z），W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，根据一次函数的性质，即可求解；
来源~:&*%中@教网，
【解答】解：（1）设A的单价为x元，B的单价为y元， 根据题意，得
，
∴
，
∴A的单价30元，B的单价15元；
中国教育%出版网@~#*]（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为W元，
由题意可知，z≥（30﹣z）， ∴z≥
，
W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z， 当z＝8时，W有最小值为570元，
即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．
2.（2019?天津?10分）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg。在乙批发店，一次购买数量不超过50kg时，价格均为7元/kg；一次性购买超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超过50kg的部分价格为5元/kg. 设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg（x＞0）
中国~@&教育出#*版网（1）根据题意填表：
（2）设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式； （3）根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次性购买苹果的数量为 kg;
[www.zz^s%#t@ep.~com②若小王在同一个批发店一次性购买苹果的数量为120kg，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次性购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买数量多.
[www.%^zz#step.co&m*]【解析】（1）由题意可得：在甲批发店购买30kg需要付款：30×6=180元； 在甲批发店购买150kg，需要付款：150×6=900元. 在乙批发店购买30kg需要付款：30×7=210元；
在乙批发店购买150kg，需要付款：50×7+（150-50）×5=850
元.
来源中国教育出~%#&版网
（2）由题意可得y1?6x(x?0)，y2??（3）①6x?5x?100，x?100
?7x,(0?x?50)
?7?50?5(x?50)?5x?100,(x?50)②购买甲批发店120kg需要花费120×6=720元
[www~.#zzst&*e@p.com 购买乙批发店120kg需要花费：5×120+100=700元 故选乙批发店.
③在甲店可以购买360=6x，即x=60
来源#:中教&~网%] 在乙店可以购买360=5x+100，即x=52 故选甲.
来源:zzs*tep^&.co@m~]3.（2019?广西北部湾经济区）某校喜迎中华人民共和国成立70周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知毎袋贴纸有50张，毎袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同． （1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？
（2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面．设购买国旗图案贴纸a袋（a为正整数），则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含a的代数式表示．
（3）在文具店累计购物超过800元后，超出800元的部分可享受8折优惠．学校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于a的函数关系式．现全校有1200名学生参加演出，需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？
[www.~z*zs@tep.c#om^【答案】解：（1）设每袋国旗图案贴纸为x元，则有，
中国教育出版网解得x=15，
经检验x=15时方程的解， ∴每袋小红旗为15+5=20元；
答：每袋国旗图案贴纸为15元，每袋小红旗为20元；
（2）设购买b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套，则有50a：20b=2：1， 解得b=a，
答：购买小红旗a袋恰好配套；
中国教育出版&~网#@]（3）如果没有折扣，则W=15a+20×a=40a，
依题意得40a≤800， 解得a≤20，
当a＞20时，则W=800+0.8（40a-800）=32a+160， 即W=
，
国旗贴纸需要：1200×2=2400张， 小红旗需要：1200×1=1200面， 则a=
=48袋，b=
=60袋，
总费用W=32×48+160=1696元． 【解析】
中%#国教育出版网（1）设每袋国旗图案贴纸为x元，则有，解得x=15，检验后即可求解；
（2）设购买b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套，则有50a：20b=2：1，解得b=a； （3）如果没有折扣，W=要：1200×1=1200面，则a=
=48袋，b=
，国旗贴纸需要：1200×2=2400张，小红旗需=60袋，总费用W=32×48+160=1696元．
本题考查分式方程，一次函数的应用；能够根据题意列出准确的分式方程，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键．
中国教育&出^*@版网#]方案设计
一.选择题
来源:@中教网*&%#]1. （2019?黑龙江省绥化市?3分）小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（ ） A．5种 答案：C
考点：二元一次方程，不等式。
来源:%@中~^*教网B．4种 C．3种 D．2种
解析：设A种玩具的数量为x，B种玩具的数量为y， 则x?2y?10， 即y?5－x， 2满足条件：x≥1，y≥1，x＞y， 当x＝2时，y＝4，不符合；
当x＝4时，y＝3，符合； 当x＝6时，y＝2，符合； 当x＝8时，y＝1，符合； 共3种购买方案。
2. （2019?黑龙江省齐齐哈尔市?3分）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（ ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【分析】设购买A品牌足球x个，购买B品牌足球y个，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可求出结论． 【解答】解：设购买A品牌足球x个，购买B品牌足球y个， 依题意，得：60x+75y＝1500， ∴y＝20﹣x． ∵x，y均为正整数，∴
，
，
，
来源:%中国教育出版网，
来^*源:%zzstep.&com@]∴该学校共有4种购买方案． 故选：B． 二.填空题 三.解答题
1．（2019?山东青岛?8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．
来源&:中^*教@#网（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？
【分析】（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，根据甲比乙少用5天，列分式方程求解；
（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，根据3000个零件，列方程；根据总加工费不超过7800元，列不等式，方程和不等式综合考虑求解即可．
【解答】解：（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，由题意得：
＝
+5
化简得600×1.5＝600+5×1.5x 解得x＝40 ∴1.5x＝60
经检验，x＝40是分式方程的解且符合实际意义． 答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件． （2）设甲加工了x天，乙加工了y天，则由题意得
来源:z&zste*p~#.^com]
由①得y＝75﹣1.5x③
将③代入②得150x+120（75﹣1.5x）≤7800 解得x≥40，
当x＝40时，y＝15，符合问题的实际意义． 答：甲至少加工了40天．
【点评】本题是分式方程与不等式的实际应用题，题目数量关系清晰，难度不大．
2．（2019?山东青岛?10分）问题提出：
如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 问题探究：
来源:&*^中教%网#]来源中国%教育出版@网~#*]
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论． 探究一：
把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．
来源:z#zstep%.&~com^]探究二：
[w~ww.zzs*tep^.&com@]
把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的 2 2×方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．探究三：
把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到 （a﹣1） 个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 （4a﹣4） 种不同的放置方法． 探究四：
把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到 （2a﹣2） 个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 （8a﹣8） 种不同的放置方法． …… 问题解决：
把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）
来%源&#*:中教网[www.zzste*p.#%co&m@]
问题拓展：
如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到 8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1） 个图⑦这样的几何体．
【分析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【解答】解：探究三：
中国教育^@出版网#]根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的 2×2方格，
来源#:中国教育出版网&%]
根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）×4＝（4a﹣4）种不同的放置方法； 故答案为a﹣1，4a﹣4； 探究四：
与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a﹣1）条边长为2的线段，
同理，边长为3，则有3﹣1＝2条边长为2的线段，
所以在a×3的方格中，可以找到2（a﹣1）＝（2a﹣2）个位置不同的2×2方格， 根据探究一，在在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a﹣2）×4＝（8a﹣8）种不同的放置方法． 故答案为2a﹣2，8a﹣8；
问题解决：
在a×b的方格纸中，共可以找到（a﹣1）（b﹣1）个位置不同的2×2方格，
来源:%z~z&step.*c@om]
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