2010-2011学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

2010-2011学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 1 of 8

一．（本题满分8分） 在正方形D??p,实根的概率． 解：

?q?：p?1,q?1?中任取一点?p,q?，求使得方程x2?px?q?0有两个

设A?“方程x2?px?q?0有两个实根”，所求概率为P?A?． 设所取的两个数分别为p与q，则有?1?p?1，?1?q?1． 因此该试验的样本空间与二维平面点集 D???p,q?：?1?p?1,?1?q?1? 中的点一一对应．…………………………………2分 随机事件A与二维平面点集DA???p,q?：p2?4q?0?，即与点集 ??p2DA???p,q?：?q?…………………2分 4??中的点一一对应． ?p2???1?dp1???3??4D的面积?1???1?p?p??13．…………………4分 ? 所以， P?A??A?D的面积2?24??12??124二．（本题满分8分） 从以往的资料分析得知，在出口罐头导致索赔的事件中，有50%是质量问题；有30%是数量短缺问题；有20%是产品包装问题．又知在质量问题的争议中，经过协商解决的占40%；在数量短缺问题的争议中，经过协商解决的占60%；在产品包装问题的争议中，经过协商解决的占75%．如果在发生的索赔事件中，经过协商解决了，问这一事件不属于质量问题的概率是多少？ 解：

1 设A1?“事件属于质量问题”，A2?“事件属于数量短缺问题”， A3?“事件属于产品包装问题”．

B?“事件经过协商解决”．所求概率为PA1B．…………………2分 由Bayes公式，得 P?A1B????P?A1?P?BA1??P?A2?P?BA2??P?A3?P?BA3?第 1 页 共 8 页

P?A1?P?BA1?…………………2分

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?0.5?0.40?0.37735849．…………………2分

0.5?0.40?0.3?0.60?0.2?0.75所以，PA1B?1?P?A1B??1?0.37735849?0.62264151．…………………2分

三．（本题满分8分）

设随机事件A满足：P?A??1．证明：对任意随机事件B，有P?AB??P?B?． 解：

?? 因为P?A??1，所以，P?A??1?P?A??1?1?0．…………………2分 所以，对任意的随机事件B，由AB?A，以及概率的单调性及非负性，有 0?P?AB??P?A??0， 因此有P?AB??0．…………………2分 所以，对任意的随机事件B，由B?AB?AB，以及AB与AB的互不相容性，得 P?B??P?AB?AB??P?AB??P?AB??P?AB??0?P?AB?．………………4分

四．（本题满分8分） 设随机变量X的密度函数为 ?ax?bx20?x?1p?x??? ， 其它?0并且已知E?X?? 解：

??1，试求方差D?X?． 2 由

???p?x?dx?1及E?X????1?????xp?x?dx?1，得 2 1???2??pxdx?ax?bxdx???0??ab?，…………………2分 231ab ??xp?x?dx??xax?bx2dx??．…………………2分

2??340??1???ab?2?3?1由此得线性方程组 ? ．

ab1????342解此线性方程组，得a?6,b??6．…………………2分

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??1 所以，EX13????xp?x?dx??x?6x?6x?dx?6?1?6??，

45102222??0所以，D?X??EX??E?X??2??23?1?1?????．…………………2分 10?2?202五．（本题满分8分）

经验表明，预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%．某餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，问到时顾客来到该餐厅而没有座位的概率是多少？ 解：

设X表示52位预订了座位的顾客中来就餐的顾客数，则X~B?52,0.8?．…………1分 则所求概率为P?X?50?．…………………2分 P?X?50??P?X?51??P?X?52?…………………2分 5152?0.851?0.21?C52?0.852?0.20 ?C52 ?0.0001278813933．…………………3分 六．（本题满分10分） 将一颗均匀的骰子独立地掷10次，令X表示这10次出现的点数之和，求E?X?（5分）与D?X?（5分）． 解：

设Xk表示第k次出现的点数，?k?1,2,?,10?． 则X1,X2,?,X10相互独立，而且X??Xk． k?110 而Xk的分布列为 P?Xk?j??661，?j?1,2,?,6?．…………………2分 61所以，E?Xk???j?P?Xk?j???j?

6j?1j?11617 ??j??21?， ?k?1,2,?,10?．…………………2分

6j?162所以，由数学期望的性质，得

1077?10?10 E?X??E??Xk???E?Xk?????10?35．…………………2分

2k?12?k?1?k?1第 3 页 共 8 页

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6 E?X2k???jj?121?P?Xk?j???j2?

6j?16162191 ??j??91?， ?k?1,2,?,10?．…………………2分

6j?166所以，由X1,X2,?,X10的相互独立性，及数学期望的性质，得

10914935175?10?10 D?X??D??Xk???D?Xk???(?)??10?．…………………2分

64126k?1?k?1?k?1七．（本题满分10分） 设随机变量X~N?0,1?，求随机变量Y?2X2?1的密度函数． 解：

1?2 由题意，随机变量X的密度函数为pX?x??e，????x????．………1分

2? 设随机变量Y?2X2?1的分布函数为FY?y?，则有 y?1?? FY?y??P?Y?y??P?2X2?1?y??P?X2??，…………………2分 2??x2 所以，当y?1时，FY?y??0；…………………1分 当y?1时， ??2y?1?? FY?y??P?X???P??2???y?1?X?2y?12?x22y?1?? 2??1 ?2?y?12??e?x22y?122dx?2?y?12?0edx…………………2分 ???2 因此有 FY?y????2???0?0e?x22dxy?1 ，…………………2分 y?1 所以，随机变量Y?2X2?1的密度函数为

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