大题规范满分练(六)
统计与概率综合问题
1.(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f
,求f
的最大值点p0.
,且各件产品是否为不合
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
【解析】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=因此f′(p)=
[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2
p2(1-p)18.
p(1-p)17(1-10p)(0 令f′(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时,f′(p)>0; 当p∈(0.1,1)时,f′(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p0=0.1. - 1 - (2)由(1)知,p=0.1. ①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y～B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y. 所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490. ②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)>400,故应该对余下的所有产品作检验. 2.(2018·临沂模拟)共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这50人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100]分成5组,请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)来解决下列问题: 频率分布表 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 8 a 20 ■ 2 ■ 频率 0.16 ■ 0.40 0.08 b ■ - 2 - (1)求出a,b,x的值. (2)若在满意度评分值为[80,100]的人中随机抽取2人进行座谈,设所抽取的2人中来自第5组的人数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望. 【解析】(1)由题意可知,=所以样本容量n= ,解得b=0.04;所以[80,90)内的频数为2×2=4, =50,a=50-8-20-4-2=16; 又[60,70)内的频率为=0.32, 所以x= =0.032. (2)由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人, 所以随机变量ξ的可能取值为0,1,2, P(ξ=0)= =,P(ξ=1)= =,P(ξ=2)= =. 所以ξ的分布列为: ξ P - 3 - 0 1 2 所以E(ξ)=0×+1×+2×=. 3.(2018·衡水模拟)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标. (1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). (2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率; ②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望. 附:①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ=11.95; ②若Z～N(μ,σ2),则 P(μ-σ ≈ - 4 - 【解析】(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5. (2)①因为Z服从正态分布N(μ,σ2), 且μ=26.5,σ≈11.95, 所以 P(14.55 4 =; 4 =; =; =; =. 4 4 4 所以X的分布列为 X P 所以E(X)=4×=2. 0 1 2 3 4 - 5 -
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