题组层级快练(六十九)
1．到两定点A(0,0)，B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是( ) A．椭圆 C．线段AB 答案 C
解析 ∵|AB|＝5，∴到A，B两点距离之和为5的点的轨迹是线段AB.
2．若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为( ) A．y＝8x C．x＝8y 答案 C
解析 由题意知P到F(0,2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x＝8y.
3．在△ABC中，已知A(－1,0)，C(1,0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，则顶点B的轨迹方程是( ) A.＋＝1 34C.＋＝1 43答案 D
解析 ∵|BC|，|CA|，|AB|成等差数列， ∴|BC|＋|BA|＝2|CA|＝4.
∴点B的轨迹是以A，C为焦点，半焦距c＝1，长轴长2a＝4的椭圆．又B是三角形的顶点，A，B，C三点不能共线，故所求的轨迹方程为＋＝1，且y≠0.
43
4．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )
A．双曲线 C．圆 答案 D
解析 连接MF，由中垂线性质，知|MB|＝|MF|.
B．椭圆 D．抛物线
2
22
B．AB所在的直线 D．无轨迹
B．y＝－8x D．x＝－8y
2
2
x2y2x2y2
B.＋＝1(x≠±3) 34D.＋＝1(x≠±2) 43
x2y2x2y2
x2y2
即M到定点F的距离与它到直线x＝－1距离相等． ∴点M的轨迹是抛物线．∴D正确．
5．设椭圆与双曲线有共同的焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍，则椭圆与双
曲线的交点轨迹是( )
A．双曲线 C．两个圆 答案 C
??|PF1|＋|PF2|＝4a，
解析 由?
?|PF1|－|PF2|＝2a，?
2
B．一个圆 D．两条抛物线
得到|PF1|＝3|PF2|或|PF2|＝3|PF1|，所以是两个圆．
6．经过抛物线y＝2px焦点的弦的中点的轨迹是( ) A．抛物线 C．双曲线 答案 A
解析 点差法 kAB＝
2p2py＝＝kMF＝化简得抛物线． y1＋y22ypx－2
B．椭圆 D．直线
7．(2015·北京朝阳上学期期末)已知正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且|OD|＝|BE|，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是( )
A．y＝x(1－x)(0≤x≤1) C．y＝x(0≤x≤1) 答案 A
解析 设D(0，λ)，E(1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD的方程为x＋＝1(0≤x≤1)，线段OE的
λ
2
B．x＝y(1－y)(0≤y≤1) D．y＝1－x(0≤x≤1)
2
yy??x＋＝1，0≤x≤1，
方程为y＝(1－λ)x(0≤x≤1)，联立方程组?λ
??y＝?1－λ?x，0≤x≤1，
得点G的轨迹方程为y＝x(1－x)(0≤x≤1)，故A正确．
(λ为参数)，消去参数λ
x2y2
8．(2015·衡水调研卷)双曲线M：2－2＝1(a>0，b>0)实轴的两个顶点为A，B，点P为双曲线M上
ab除A，B外的一个动点，若QA⊥PA且QB⊥PB，则动点Q的运动轨迹为( )
A．圆 C．双曲线 答案 C
解析 A(－a,0)，B(a,0)，设Q(x，y)，P(x0，y0)，kAP＝
B．椭圆 D．抛物线
y0
x0＋a·
，kBP＝y0
x0－a，kAQ＝
yx＋a，kBQ＝yx－a，由
QA⊥PA且QB⊥PB，得kAPkAQ＝
y0
x0＋ax＋a·
y＝－1，kBPkBQ＝
y0yx0－ax－a＝－1.两式相乘即得轨迹为双曲线．
→→
9．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足AC＝2CB，则动点C的轨迹方程________．
122
答案 x＋y＝1
4
→→
解析 设A(a,0)，B(0，b)，则a＋b＝9.又C(x，y)，则由AC＝2CB，得(x－a，y)＝2(－x，b－y)．
2
2
??x－a＝－2x，即?
?y＝2b－2y，?
2
a＝3x，??
即?3
b＝y，??2
12222
代入a＋b＝9，并整理，得x＋y＝1.
4
10．若过抛物线y＝4x的焦点作直线与其交于M，N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为________．
答案 y＝4(x－2)
→→
解析 设直线方程为y＝k(x－1)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由OM＝NP，得(x1，y1)＝(x－
2
x2，y－y2)．得x1＋x2＝x，y1＋y2＝y.
??y＝k?x－1?，由?2
?y＝4x，?
2k＋4
联立得x＝x1＋x2＝2.
2
k4ky＝y1＋y2＝2，消去参数k，得y2＝4(x－2)．
k11．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________． 答案 (x－10)＋y＝36(y≠0)
解析 方法一：直接法．设A(x，y)，y≠0，则D(，)．
22∴|CD|＝
?－5?＋＝3. 24
2
2
2
2
xyx2
y2化简，得(x－10)＋y＝36.由于A，B，C三点构成三角形，所以A不能落在x轴上，即y≠0. 方法二：定义法．如图，设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AE∥CD交x轴于E.
∵|CD|＝3，∴|AE|＝6，则E(10,0)，∴A到E的距离为常数6.∴A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，即(x－10)＋y＝36.又A，B，C不共线，故A点纵坐标y≠0，故A点轨迹方程为(x－10)＋y＝36(y≠0)．
2
2
2
2
y2
12．已知抛物线y＝nx(n<0)与双曲线－＝1有一个相同的焦点，则动点(m，n)的轨迹方程是
8m2
x2
________．
答案 n＝16(m＋8)(n<0)
解析 抛物线的焦点为(，0)，在双曲线中，8＋m＝c＝()，n<0，即n＝16(m＋8)(n<0)．
4413.如图所示，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2,0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C在x轴上，点
2
n2
n22
P为线段OA的中点．
(1)求BC边所在直线方程；
(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程． 答案 (1)y＝2
x－22 (2)(x－1)2＋y2＝9 2
4242
(3)x＋y＝1 95
解析 (1)∵kAB＝－2，AB⊥BC， ∴kCB＝
22
.∴BC：y＝x－22. 22
(2)在上式中，令y＝0，得C(4,0)．∴圆心M(1,0)． 又∵|AM|＝3，∴外接圆的方程为(x－1)＋y＝9. (3)∵P(－1,0)，M(1,0)，∵圆N过点P(－1,0)， ∴PN是该圆的半径．又∵动圆N与圆M内切， ∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3.
∴点N的轨迹是以M，P为焦点，长轴长为3的椭圆． 322
∴a＝，c＝1，b＝a－c＝
24242
∴轨迹方程为x＋y＝1.
95
14．已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)讨论轨迹C的形状．
答案 (1)x－＝1(λ≠0，x≠±1) (2)略 λ
解析 (1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝整理，得x－＝1(λ≠0，x≠±1)．
λ
(2)①当λ>0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)； ④当λ<－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．
22
2
2
5. 4
y2
·＝λ. x＋1x－1
yyy2
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