近世代数复习提纲

近世代数复习提纲

群论部分

一、基本概念

1、群的定义（四个等价定义） 2、基本性质

（1）单位元的唯一性； （2）逆元的唯一性； （3）(ab)?1?b?1a?1,(a?1)?1?a；

（4）ab?ac?b?c；

（5）ax?b?x?a?1b；ya?b?y?ba?1。 3、元素的阶

使am?e成立的最小正整数m叫做元素a的阶，记作|a|?m；若这样的正整数不存在，则称a的阶是无限的，记作|a|??。

（1）|a|?|a?1|,|a|?|g?1ag|(?g?G)。

（2）若am?e，则 ①|a|?m；

②|a|?m?由an?e可得m|n。

（3）当群G是有限群时，?a?G，有|a|??且|a||G|。 （4）|a|?n?|ar|?r|n，其中d?(r,n)。 dnrdrnd证明 设|a|?k。因为(a)?(a)?e，所以kn。 drnnrk，又(,)?1，

dddd另一方面，因为(ar)k?ark?e，所以nrk，从而

nnk，故k?。

dd所以

1

)|1b?，|P70.3）注：1? |ab|?|a||b|，但若ab?ba，且|(,||a则有|ab|?|a||b（。

2? |G|????a?G,|a|??；但?a?G,|a|????|G|??。

例1 令G?{a?C|?n?Z,?an?1}，则G关于普通乘法作成群。显然，1是G的单位元，所以?a?G，有|a|??，但|G|??。 二、群的几种基本类型

1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。 2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。

3、变换群：集合A上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A上的变换群。

（1）变换群的单位元是A的恒等变换。

（2）A的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A上最大的变换群。 （3）一般地，变换群不是交换群。 （4）任一个群都与一个变换群同构。

4、置换群：有限集合A上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。

例2 设??(123),??(13)(24)是S5中元素，求??。

?12345??12345??12345??12345?解 ???(123)(13)(24)???????????(142)

?23145??32145??14325??41325?（1）n元集合A的所有置换作成的置换群，叫做n次对称群，记作Sn。 （2）|Sn|?n!。

（3）每个n元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。 （4）(i1i2?ik)?1?(ik?i2i1)。

（5）任一有限群都与一个置换群同构。

5、循环群：若群G中存在元素a，使得G?(a)?{an|n?Z}，则称G是循环群。

（1）循环群是交换群（P61.1）。 （2）素数阶群是循环群（P70.1）。

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（3）循环群的子群是循环群（P65.4）。

（4）当|G|??时，G?Z?G?{?,a?2,a?1,e?a0,a,a2,?}； 当|G|?n时，G?Zn?G?{e?a0,a,a2,?,an?1}。 （5）|G|?|a|

（6）当|G|??时，G有且仅有两个生成元a,a?1；

当|G|?n时，G有且仅有?(n)个生成元，这里?(n)表示小于n且与

n互素的正整数个数。且当(m,n)?1时，am是G的生成元。

（7）若G与G同态，则 1? G也是循环群； 2? 当?(a)?a时，G?(a)； 3? G的阶整除G的阶。 例3（P79、3） 三、子群

1、定义：设H是群G的非空子集，若H关于G的于是也构成群，则称H是G的子群，记作H?G。 2、等价条件

（1）群G的非空子集H是子群??a,b?H，有ab,a?1?H ??a,b?H，有ab?1?H （2）群G的非空有限子集H是子群??a,b?H，有ab?H。 3、运算

（1）若H1,H2?G，则H1?H2?G（可推广到任意多个情形）。 （2）若H1,H2?G，则H1?H2未必是G的子群。

（3）若H1,H2?G，则H1H2?{h1h2|h1?H1,h2?H2}未必是G的子群。 （4）若H1,H2?G，则H1?H2不是G的子群。

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4、陪集

设H?G，则G的子集aH?{ah|h?H}叫做H的包含a的左陪集；G的子集Ha?{ha|h?H}叫做H的包含a的右陪集。

（1）一般地，aH?Ha。

（2）aH?bH?b?1a?H；Ha?Hb?ab?1?H；aH(Ha)?H?a?H。 （3）aH(Ha)?G?a?H。

（4）aH?bH(Ha?Hb)?(aH)?(bH)??[(Ha)?(Hb)??]。 （5）{aH|a?G}是G的一个分类，{Ha|a?G}也是G的一个分类。即

G??aH，且(aH)?(bH)??（当aH?bH时）

a?G或

G??Ha，且(Ha)?(Hb)??（当Ha?Hb时）

a?G5、指数：

群G的子群H的左陪集（右陪集）个数叫做H的指数，记作[G:H]。 当|G|??时，有|G|?|H|[G:H]。 6、不变子群

设H是群G的子群，若?a?G，都有aH?Ha，则称H是G的不变子群，记作H?G。

群G的子群H是不变子群??a?G，有a?1Ha?H

??a?G,?h?H，有a?1ha?H。 例4（P74、1） 例5（P74、3）

1?不变子群的交是不变子群。 2?交换群的子群是不变子群。

3?群G的中心C(G)?{a?G|?x?G,xa?ax}是G的不变子群。

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