2021届新高考版高考数学专项突破训练：专项4 新高考·新题型专练

2021届新高考版高考数学专项突破训练

专项4 新高考·新题型专练

一、多项选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 1.已知集合M={0,1,2},N={x||x - 1|≤1},则 A.M=N B.N?MC.M∩N=M D.(?RM)∪N=R 2.已知i为虚数单位,则下列结论正确的是 A.复数z=

的虚部为

( ) ( )

B.复数z=的共轭复数= - 5 - 2i

C.复数z=i在复平面内对应的点位于第二象限

D.若复数z满足∈R,则z∈R

3.采购经理指数(简称PMI)是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一,对国家经济活动的监测和预测具有重要作用.制造业PMI在50%以上,通常反映制造业总体扩张,低于50%,通常反映制造业总体衰退.如图1 - 1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI的统计图,下列说法正确的是

( )

图1 - 1

A.大部分月份制造业总体衰退

B.2019年3月制造业总体扩张最大

C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI比上月增长 D.2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点 4.已知函数f (x)=A.f ( - 2)=4

B.若f (m)=9,则m=±3

则下列结论中正确的是

( )

C.f (x)是偶函数

D.f (x)在R上单调递减

5.已知(ax2+)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式中各项系数之和

为1 024,则下列说法正确的是

A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项

D.展开式中含x15项的系数为45

6.已知向量a=(1,2),b=(m,1)(m<0),且满足b·(a+b)=3,则 A.|b|=

( )

( )

B.(2a+b)∥(a+2b)

C.向量2a- b与a- 2b的夹角为

D.向量a在b方向上的投影为

7.已知函数f (x)=sin(2x - ),下列结论正确的是 A.f (x)的最小正周期是π B.f (x)=是x=的充分不必要条件

( )

C.函数f (x)在区间(,)上单调递增

D.函数y=|f (x)|的图象向左平移个单位长度后所得图象的对称轴方程为x=π(k∈Z) 8.同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次,记事件A={第一个四面体向下的一面出现偶数},事件B={第二个四面体向下的一面出现奇数},事件C={两个四面体向下的一面同时出现奇数,或者同时出现偶数}.则下列说法正确的是 A.P(A)=P(B)=P(C) B.P(AB)=P(AC)=P(BC) C.P(ABC)=

( )

D.P(A)P(B)P(C)=

9.已知函数f (x)是定义在R上的奇函数,且x>0时,f (x)=(x - 2)ex,则下列结论正确的是 ( ) A.f (x)>0的解集为( - 2,0)∪(2,+∞) B.当x<0时,f (x)=(x+2)e - x C.f (x)有且只有两个零点

D.?x1,x2∈[1,2],|f (x1) - f (x2)|≤e

10.设圆A:x2+y2 - 2x - 3=0,则下列说法正确的是 ( ) A.圆A的半径为2

B.圆A截y轴所得的弦长为2

C.圆A上的点到直线3x - 4y+12=0的最小距离为1 D.圆A与圆B:x2+y2 - 8x - 8y+23=0相离

11.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,C为钝角,且c - b=2bcos A,则下列结论中正确的是( A.a2=b(b+c) B.A=2BC.0

12.设f ' (x)是函数f (x)的导函数,若f ' (x)>0,且?x1,x2∈R(x1≠x2),f (x1)+f (x2)<2f (

),则下列

各项中正确的是 ( )

A.f (2)

13.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是公差不为0的等差数列,且a2=b2,a8=b8,则( A.a5=b5 B.a5b6

14.[2020山东省统考]如图1 - 2,正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,E,F ,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则

( )

图1 - 2

A.直线D1D与直线AF垂直 B.直线A1G与平面AEF平行

C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为 D.点C与点G到平面AEF的距离相等 15.已知矩形ABCD,AB=1,BC=,将△ADC沿对角线AC进行翻折,得到三棱锥D - ABC,则在翻折

的过程中,下列结论正确的是

( )

))

A.三棱锥D - ABC的体积的最大值为

B.三棱锥D - ABC的外接球的体积不变

C.三棱锥D - ABC的体积最大时,二面角D - AC - B的大小是60° D.异面直线AB与CD所成角的最大值为90° 16.已知椭圆

=1上有A,B,C三点,其中B(1,2),C( - 1, - 2),tan∠BAC=,则下列说法正确的是( )

A.直线BC的方程为2x - y=0 B.kAC=或4

C.点A的坐标为( - ,)

D.点A到直线BC的距离为

17.在数列{an}中,a1=1,a2=2,a3=3,an+3+( - 1)nan+1=1(n∈N*),数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论正确的是 ( ) A.数列{an}为等差数列 B.a18=10C.a17=3 D.S31=146

18.过抛物线y2=3x的焦点f 的直线与抛物线交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点,点A,B在抛物线准线上的射影分别为A1,B1,直线AO交准线于点M(O为坐标原点),则下列说法正确的是( ) A.

·

=0

B.∠A1F B1=90°

C.直线MB∥x轴 D.|AF|·|BF |的最小值是

二、双空题.

19.已知函数g(x)=2sin[ω(x+)](ω>0)的图象是由函数f (x)的图象先向左平移个单位长度,再

将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的.若f (x)的最小正周期为π,

则f (x)= ;若函数f (x)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则实数ω的值为 .

20.如图1 - 3,在平面四边形ABCD中,E,F分别为边CD,AD上的点,△DEf 为等边三角形,CE=Ef ,且∠ABC=,AE=

,AF=3,则AC= ,△ABC面积的最大值为 .

图1 - 3

21.[2020长春市第一次质量监测]已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1= - ,且

an+an+1=

(n∈N*),则S2n= ,

an= .

22.[2019北京市顺义区第二次统考]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点和双曲线x2 - =1的右焦

点F2重合,则抛物线的方程为 ;P为抛物线和双曲线的一个公共点,则点P与双曲线左焦点F 1之间的距离为 .

23.设函数f (x)(x∈R)的导函数为f ' (x),f (0)=2 020,且f ' (x)=f (x) - 2,则f (x)= ,f (x)+4 034>2f ' (x)的解集是 .

24.如图1 - 4,在棱长均为3的正四棱锥P - ABCD中,E,F ,G,H分别是PA,PB,PC,PD上异于端点的点,且平面EF GH与平面ABCD平行,S为AC和BD的交点,当四棱锥S - EFGH的体积最大

时,= ,此时四棱锥S - EFGH外接球的表面积为 .

图1 - 4

答案解析

1.CD 由|x - 1|≤1得0≤x≤2,即N=[0,2],又M={0,1,2},所以M∩N=M,M?N,(?RM)∪N=R,故选CD. 2.ABD 对于A,z=

= -

i,其虚部为,故A正确;

对于B,z==(2+5i)i= - 5+2i,故= - 5 - 2i,故B正确;

对于C,z=i在复平面内对应的点的坐标为(,-),位于第四象限,故C不正确;

对于D,设z=a+bi(a,b∈R),则故选ABD.

,又∈R,则b=0,所以z=a∈R,故D正确.

3.ABD 根据折线图可知,大部分月份制造业总体衰退,A正确;2019年3月制造业总体扩张最大,B正确;2018年11月到2019年10月中有4个月的PMI比上月增长,C错误;2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点,D正确.故选ABD.

4.AD 由于 - 2<0,所以f ( - 2)=( - 2)2=4,故A选项正确;由f (m)=9>0知m≤0,且m2=9,因此m= - 3,故B选项错误;由f (x)的图象(图略)可知f (x)是奇函数,且在R上单调递减,故C选项错误,D选项正确.故选AD.

5.BCD 因为(ax2+)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,所以

,解得

n=10.因为展开式中各项系数之和为1 024,所以令x=1,得(a+1)10=1 024,解得a=1.故给定的二项式为(x2+)10,其展开式中奇数项的二项式系数之和为

210=512,故A不正确.由n=10可知二

项式系数最大的项是展开式的第6项,而(x2+)10的展开式的系数与对应的二项式系数相等,

故B正确.展开式的通项公式为Tk+1=

(x2)10 - k·()k=x20 - (k=0,1,2,…,10),令20 - =0,解得

k=8,即常数项为第9项,故C正确.令20 - =15,得k=2,故展开式中含x15项的系数为D正确.故选BCD.

=45,故

6.AC 将a=(1,2),b=(m,1)代入b·(a+b)=3,得(m,1)·(1+m,3)=3,即m2+m=0,解得m= - 1或m=0(舍

去),所以b=( - 1,1),所以|b|=,故A正确;因为2a+b=(1,5),a+2b=( - 1,4),1×4 -

( - 1)×5=9≠0,所以2a+b与a+2b不平行,故B错误;设向量2a - b与a - 2b的夹角为θ,易知2a

- b=(3,3),a - 2b=(3,0),所以cos θ=,所以θ=,故C正确;向量a在b方向上的投影

为,故D错误.故选AC.

7.AD 对于A,由最小正周期T==π知A正确;

对于B,由f (x)=得2x - =2kπ+(k∈Z)或2x - =2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)或x=kπ+(k∈Z),

可知f (x)=是x=的必要不充分条件,B不正确;

对于C,由

对于D,y=|f (x)|的图象向左平移个单位长度得y=|sin[2(x+) - ]|=|sin 2x|的图象,由y=|sin

x|的图象的对称轴为直线x=(k∈Z)得y=|sin 2x|的图象的对称轴为直线x=(k∈Z),D正确.故选AD.

8.ABD 由古典概型的概率计算公式,得P(A)=P(B)=

,P(C)=

,所以P(A)=P(B)=P(C)=,A

正确;P(A)P(B)P(C)=,D正确;

而事件A,B,C不可能同时发生,故P(ABC)=0,所以C不正确;又

P(AB)=,P(AC)=,P(BC)=,所以P(AB)=P(AC)=P(BC),B正确.故选ABD.

9.ABD 当x>0时,f (x)<0的解集为(0,2),f (x)>0的解集为(2,+∞),由f (x)为奇函数可知选项A正确;当x<0时,f (x)= - f ( - x)= - ( - x - 2)e - x=(x+2)e - x,选项B正确;当x>0时,x=2为f (x)的零点,又f (x)是定义在R上的奇函数,所以f (0)=0,f ( - 2)=0,故f (x)有且只有三个零点,选项C错误;当x>0时,f ' (x)=(x - 1)ex,故f (x)在[1,2]上单调递增,所以f (x)min=f (1)= - e,f (x)max=f (2)=0,所以|f (x1) - f

(x2)|≤f (x)max - f (x)min=e,选项D正确.故选ABD.

【易错警示】 求解本题时,一定要注意奇函数在x=0处有定义时f (0)=0. 10.ABC 把圆A的方程x2+y2 - 2x - 3=0化成标准方程,为(x - 1)2+y2=4,所以圆A的圆心坐标为

(1,0),半径为2,A正确;圆A截y轴所得的弦长为2=2,B正确;圆心(1,0)到直线3x -

4y+12=0的距离为3,故圆A上的点到直线3x - 4y+12=0的最小距离为3 - 2=1,C正确;易知圆

B:x2+y2 - 8x - 8y+23=0的圆心为(4,4),半径为3,根据误.故选ABC.

11.ABD 因为c - b=2bcos A,所以由余弦定理得c - b=2b·

=5可知,圆A与圆B相切,D错

,所以c(c - b)=b2+c2 - a2,整理得

a2=b(b+c),故A选项正确;因为c - b=2bcos A,所以由正弦定理得sin C - sin B=2sin Bcos A,即sin(A+B) - sin B=2sin Bcos A,所以sin Acos B - sin Bcos A=sin B,即sin(A - B)=sin B,由于C是钝角,

所以A - B=B,即A=2B,故B选项正确;由于A=2B,且C>90°,所以0°

A<1,0

12.ABD 由f ' (x)>0知,f (x)在R上单调递增,则f (2)

),即

),所以y=f (x)的图象是向上凸起的,如图D 1 - 1所示,

图D 1 - 1

由导数的几何意义知,随着x的增加,f (x)的图象越来越平缓,即切线斜率越来越小,所以f ' (π)

' (e)

f (2),所以由图易知f ' (3)0),{bn}的公差为d(d≠0).a5=

,b5=,由基

本不等式得≤

,当且仅当b2=b8时等号成立,易知数列{bn}不是常数列,故B正确,A错误.

因为a2q6=a8=b8=b2+6d=a2+6d,所以d=,所以a4 - b4=a2q2 - a2 - 2d=a2(q2 - 1 - )=(3q2 - q6

- 2)=(q2 - q6+2q2 - 2)=(1 - q2)(q4+q2 - 2)= - (1 - q2)2(q2+2)<0,a6 - b6=a2q4 - a2 - 4d=(3q4 - 1 -

2q6)= - (1 - q2)2(2q2+1)<0,所以a4

解法二 设{an}的公比为q(q>0),{bn}的公差为d(d≠0).an=a1qn - 1=·qn,bn=b1+(n - 1)d=b1 - d+nd,

将其分别理解成关于n的指数函数乘以正数(指数函数的图象为下凹曲线)和一次函数(一次

函数的图象为直线),则两函数图象分别在n=2,n=8处相交,故当3≤n≤7时,an

14.BC 假设D1D⊥AF,易知DD1⊥AE,所以D1D⊥平面AEF,又D1D⊥平面ABCD,所以平面AEF∥平面ABCD,显然不正确,故选项A不正确;连接AD1,D1F,易知EF∥AD1,所以平面AEF即平面AEFD1,又A1G∥D1F,所以A1G∥平面AEFD1,所以选项B正确;平面AEF截正方体所得的截面为

梯形AEFD1,EF=,AD1=,梯形的高为,所以其面积为,故选

项C正确;连接CG交EF于点H,显然H不是CG的中点,所以C,G到平面AEF的距离不相等,故选项D不正确.故选BC.

15.BD 对于A,三棱锥D - ABC的体积VD - ABC=S△ABC·h(h为点D到平面ABC的距

离),S△ABC=1,所以当h最大时,三棱锥D - ABC的体积取得最大值,又当平面ADC⊥

平面ABC时,h最大,为,此时VD - ABC=,故A错误;对于B,设AC的中点为O,连接

OB,OD,则OA=OB=OC=OD,所以O为三棱锥D - ABC的外接球的球心,则外接球的半径为AC=1,

所以外接球的体积为π,翻折的过程中,三棱锥D - ABC的外接球的体积不变,故B正确;对于C,

三棱锥D - ABC的体积最大时,平面ADC⊥平面ABC,所以此时二面角D - AC - B的大小是90°,故C错误;对于D,当△ADC沿对角线AC翻折到点D与点B的距离为

,即BD=

时,在△BCD

中,BC2=BD2+CD2,所以CD⊥BD,又CD⊥AD,BD∩AD=D,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,即异面直线AB与CD所成角的最大值为90°,故D正确.故选BD.

16. AD 设A(xA,yA),直线AB,AC的倾斜角分别为θ1,θ2,不妨记θ1>θ2,由tan∠BAC=>0,知

∠BAC<,则数形结合易知当θ1 - θ2=∠BAC时,才能满足题意,故tan(θ1 - θ2)=,即

,又

kAB·kAC=·= - 2,所以kAB - kAC= - ,结合kAB·kAC= - 2,解得或

而当

时,数形结合易知∠BAC≠θ1 - θ2,且∠BAC>,故舍去.当时,直

线AC、直线AB的方程分别为y+2=4(x+1),y - 2= - (x - 1),可得A(,).由椭圆的对称性可知:当

θ1<θ2时,同理可得A( - , - ),故B,C错误.易得直线BC的方程为2x - y=0,故当点A

为(,)时,点A到直线BC的距离为,当点A为( - , - )时,点A到直线BC的距离也

为.故A,D正确,选AD.

17.BD 依题意得,当n是奇数时,an+3 - an+1=1,即数列{an}中的偶数项构成以a2=2为首项、1为公差的等差数列,所以a18=2+(9 - 1)×1=10.当n是偶数时,an+3+an+1=1,所以an+5+an+3=1,两式相减,

得an+5=an+1,即数列{an}中的奇数项从a3开始,每间隔一项的两项相等,即数列{an}的奇数项呈周期变化,所以a17=a4×3+5=a5.在an+3+an+1=1中,令n=2,得a5+a3=1,因为a3=3,所以a5= - 2,所以a17= - 2.在数列{an}中,a3+a5=1,a7+a9=1,…,

a27+a29=1,a31=a4×7+3=a3=3,偶数项构成以a2=2为首项、1为公差的等差数列,所以

S31=1+7+3+15×2+=146.故选BD.

18.BCD 由题意可知,抛物线y2=3x的焦点F的坐标为(,0),准线方程为x= - .易知直线AB的

斜率不为0,设直线AB的方程为x=my+,代入y2=3x,得y2 - 3my - =0,易知Δ>0,所以

y1+y2=3m,y1y2= - ,则x1x2=(my1+)(my2+)=,所以·=(x1,y1)·(x2,y2)= x1x2+ y1y2== -

≠0,所以A不正确;因为A(,y1),O(0,0),M( - ,yM)三点共线,所以,所以= - ,又y1y2=

- ,所以yM=y2,所以直线MB∥x轴,所以C正确;易知A1,B1的坐标分别为( - ,y1),( - ,y2),所以

·=( - ,y1)·( - ,y2)=+ y1y2==0,所以∠A1FB1=90°,所以B正确;设直线AB的

倾斜角为θ(θ≠0),则|AF|=,|BF|=,所以|AF|·|BF|=·≥,当且仅当AB⊥x

轴时取等号,所以D正确.故选BCD.

19. sin(2x - ) 6 因为函数g(x)=2sin[ω(x+)](ω>0)的图象是由函数f (x)的图象先向左平移

个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的,所以f (x)=sin[ω(x - )].①若f (x)的最小正周期为π,则f (x)=sin(2x - ).②若函数f (x)在区间[0,]上

单调递增,在区间[,]上单调递减,则有f ()=sin=1,且≥,结合ω>0,得ω=6.

【易错警示】 在进行三角函数图象变换时,一般“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,但要注意左、右平移时把x前面的系数提取出来. 20.2

3 在△AEF中,易知∠AFE=,又AF=3,AE=,由余弦定理得()2=32+EF2 -

2×3×EF×cos ,可得EF=1.所以CE=DE=DF=

EF=1,AD=4,CD=2.又∠ADC=,所以在△ACD中,由余弦定理得AC2=42+22 - 2×4×2×cos =12,得

AC=2.

- θ=

- θ,所以在△ABC中,由正弦定理得

解法一 设∠ACB=θ,则∠BAC=π -

=4,所以AB=4sin θ,BC=4sin( - θ),于是△ABC的面积S△ABC=AB·BCsin

=4sin θsin( - θ)=4sin θ(cos θ+sin θ)=2(sin 2θ - cos 2θ+)=2sin(2θ - )+,

则当2θ -

,即θ=时,S△ABC取得最大值,为3.

解法二 在△ABC中,cos∠ABC=,结合基本不等式,得≥,化简得

BC·AB≤12(当且仅当S△ABC=BC·AB·sin∠ABC≤

12

AB=BC=3

时取等号),所以△ABC,即△ABC面积的最大值为3

.

的面积

21. ( - 1)n+

因为an+an+1=,所以S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n - 1+a2n=1 -

+…+=1 - .

因为an+an+1=,所以an+1= - an.又a1= - - 1,所以a2=+1,a3==

- - 1,a4=+1,…,归纳可得,an=( - 1)n+.

22.y2=8x 7 易知双曲线x2 - =1的右焦点F2的坐标为(2,0),左焦点F1的坐标为( - 2,0),则抛

物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(2,0),则=2,解得p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.

设点P的坐标为(x0,y0),易知x0>0,由得3x2 - 8x - 3=0,解得x0=3,则P(3,2)或P(3, -

2),则点P与双曲线左焦点F1( - 2,0)之间的距离为=7.

23.2+2 018ex ( - ∞,ln 2) 令h(x)=

,则h' (x)==,又f ' (x)=f (x) -

2,∴h' (x)=0,故h(x)为常数函数.设h(x)=c,则=c,∴f (x)=2+cex.∵f (0)=2 020,∴f (0)=2+c=2

020,∴c=2 018,故f (x)=2+2 018ex,f ' (x)=2 018ex.由f (x)+4 034>2f ' (x),得4 036+ 2 018ex>2×2 018ex,故ex<2,故x

【解题关键】 求解本题的关键是根据题意巧妙构造函数h(x)=. 24. 因为平面EFGH与平面ABCD平行,易知四边形EFGH与四边形ABCD相似,所以四

边形EFGH是正方形.设=x(0

=x2,易知四棱锥S - EFGH与四棱锥P - ABCD的高

的比值为1 - x,设V四棱锥P - ABCD=V0,则V四棱锥S - EFGH=x2(1 - x)V0.设f (x)=x2(1 - x)(00,函数f (x)单调递增,当

即时,f (x)取得最大值,此时V四棱锥S - EFGH取得最大值.

此时,连接PS,FH,EG,设FH与EG交于点M,易知点M在PS上,且EF=2,SM=,HM=.设四棱锥

S - EFGH的外接球的球心为O,半径为R,易知点O在直线PS上,连接OH,易知点O在四棱锥S -

)2=R2,解得R=

,所以四棱锥S - EFGH的外接球的表面积为

EFGH的外部,则(R - )2+(

4πR2=.

【解后反思】 求解几何体外接球的半径一般是根据球的截面的性质,即利用球的半径R,截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系求解,其中确定球心的位置是解题的关键.