第八章 二元一次方程组
8．1 二元一次方程组
1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解．
2．学会用类比的方法迁移知识，体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受学习数学的乐趣．
重点
理解二元一次方程组的解的意义． 难点
求二元一次方程的正整数解．
一、创设情境，引入新课 古老的“鸡兔同笼”问题：
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？” 解：设鸡有x只，则兔有(35－x)只，则可列方程： 2x＋4(35－x)＝94， 解得：x＝23，
则鸡有23只，兔有12只． 二、尝试活动，探索新知
1．讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念． 教师提问：
上面的问题可以用一元一次方程来解，那么还有其他方法吗？ 设有x只鸡，y只兔，依题意得： x＋y＝35 ① 2x＋4y＝94 ②
针对学生列出的这两个方程，教师提出如下问题： (1)你能给这两个方程起个名字吗？ (2)为什么叫二元一次方程呢？
(3)什么样的方程叫二元一次方程呢？ 教师结合学生的回答，板书定义1：
含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程，叫做二元一次方程．
同时教师引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移和类比，让学生用原有的认知结构去同化新知识，符合建构主义理念．
教师追问：
在上面的问题中，鸡、兔的只数必须同时满足①、②两个方程．把①、②两个二元一次方程结合在一起，用大括号来连接．我们也给它起个名字，叫什么好呢？
??x＋y＝35，? ?2x＋4y＝94.?
学生思考，教师板书定义2：
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
1 2．讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念．
探究活动：满足x＋y＝35，且符合问题的实际意义的值有哪些？请填入表中． x y … … 教师启发：
(1)若不考虑此方程与上面实际问题的联系，还可以取哪些值？ (2)你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗？ (3)它与一元一次方程的解有什么区别？ 教师板书定义3：
??x＝a，
使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，记为?
?y＝b.?
二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．
注意：
二元一次方程组的解是成对出现的，用大括号来连接，表示“且’． 三、例题讲解
【例】 下列各对数值中不是二元一次方程x＋2y＝2的解的是( )
??x＝2，A.? ?y＝0??x＝0，???y＝1
??x＝－2，
B.? ?y＝2?
C.?
?x＝－1，?
D.?
?y＝0?
解法分析：
将A、B、C、D中各对数值逐一代入方程检验是否满足方程，选D.
??x＋2y＝2，
变式练习：上题中的选项是二元一次方程组?的解的是( )
?2x＋y＝－2?
解法分析：
在例题的基础上，进一步检验A、B、C、D中各对值是否满足方程2x＋y＝－2，使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程．
四、巩固练习
1．根据下列语句，列出二元一次方程： (1)甲数的一半与乙数的3倍的和为11； (2)甲数和乙数的2倍的差为17.
2．方程x＋2y＝7在自然数范围内的解( ) A．有无数组 B．有一组 C．有两组 D．有四组
3．若mx＋y＝1是关于x，y的二元一次方程，那么( ) A．m≠0 B．m＝0
C．m是正有理数 D．m是负有理数
【答案】 1. (1)0.5x＋3y＝11 (2)x－2y＝17 2. D 3. A
2 五、课堂小结
本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？(什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？什么叫二元一次方程组的解？)
本课的设计是从提出“鸡兔同笼”的求解问题入手，让学生经历了从不同角度寻求不同解决方法的过程，体现了解决问题策略的多样性，以列一元一次方程求解衬托出列二元一次方程组求解的优越性，更使学生感到二元一次方程组的引入顺理成章，所以本课的整体设计，突出了一元一次方程的样板作用，让学生在类比中，主动迁移知识，建立新的概念，使得基础知识和基本技能在学生的头脑中留下较深刻的印象．
8．2 消元——解二元一次方程组
第1课时 代入消元法
1．用代入法解二元一次方程组．
2．了解解二元一次方程组时的“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想． 3．会用二元一次方程组解决实际问题．
重点
用代入法解二元一次方程组． 难点
探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程．
一、创设情境，引入新课 教师出示下列问题： 问题1：
篮球联赛中，每场比赛都要分胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？
问题2：
在上述问题中，我们也可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，那么怎样求解二元一次方程组呢？
二、尝试活动，探索新知 教师引导：
什么是二元一次方程组的解？(方程组中各个方程的公共解) 学生列式计算后回答：
??x＋y＝22， ①，? ?2x＋y＝40. ②?
满足方程①的解有：
?x＝21，??x＝20，??x＝19，??x＝18，??x＝17，??????…… ?????y＝1；y＝2；y＝3；y＝4；y＝5；?????
满足方程②的解有：
??x＝19，??x＝18，??x＝17，??x＝16，????…… ?y＝2；??y＝4；??y＝6；??y＝8；?
3 ??x＝18，
这两个方程的公共解是?
?y＝4.?
师：这种列举法比较麻烦，有没有简单一点的方法呢？
师：由方程①进行移项得y＝22－x，由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数，故可以把方程②中的y用(22－x)来代换，即得2x＋(22 －x)＝40.由此一来，二元就化为一元了．
解得x＝18.
问题解完了吗？怎样求y?
将x＝18代入方程y＝22－x，得y＝4.
能代入原方程组中的方程①、②来求y吗？代入哪个方程更简便？
?x＝18，?
这样，二元一次方程组的解就是?
?y＝4.?
教师归纳并板书：
这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法．
三、例题讲解
【例1】 用代入法解方程组
??x－y＝3， ①? ?3x－8y＝14. ②?
分析：方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，比较简便． 解：由①，得
x＝y＋3. ③ 把③代入②，得
3(y＋3)－8y＝14. 解这个方程，得 y＝－1.
把y＝－1代入③，得 x＝2.
所以这个方程组的解是
??x＝2，
?
?y＝－1.?
【例2】 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销
售数量(按瓶计算)比为2∶5.某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
分析：问题中包含两个条件： 大瓶数∶小瓶数＝2∶5，
大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝总生产量． 解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶．
根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总生产量的数量关系，得
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