课时作业(十三) [第13讲 变化率与导数、导数的运算]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
4
1．[2011·余姚模拟] 若曲线y＝x的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
x2
2．[2011·聊城模拟] 曲线y＝e在点(2，e)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
2e222
A．e B．2e C．4e D.
2
3．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为( )
11
A．－ B．0 C. D．5
55
2
4．[2011·临沂模拟] 若点P是曲线y＝x－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为( )
2
A．1 B.2 C. D.3
2
能力提升
32
5．有一机器人的运动方程为s(t)＝t＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻tt＝2时的瞬时速度为( )
19171513A. B. C. D. 4444
cosx6．y＝的导数是( )
1－xcosx＋sinx＋xsinxcosx－sinx＋xsinxA. B. 22
1－x1－xcosx－sinx＋xsinxcosx＋sinx－xsinxC. D. 21－x1－x7．已知曲线y＝＋lnx的一条切线的斜率为2，则切线方程为( )
2
A．4x－2y－3＝0 B．4x＋2y－3＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x＋y＋1＝0
8．[2011·郑州模拟] 已知定义域为D的函数f(x)，如果对任意x1，x2∈D，存在正数K，都有∣f(x1)－f(x2)∣≤K∣x1－x2∣成立，那么称函数f(x)是D上的“倍约束函数”，
?π?③f(x)＝x－1；2
已知下列函数：①f(x)＝2x；②f(x)＝2sin?x＋?；④f(x)＝lg(2x＋1)，
4??
其中是“倍约束函数”的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4
9．已知点P在曲线y＝x上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范
e＋1
x2
围是( )
?π??ππ?A.?0，? B.?，?
4???42??π3π??3π，π? C.?，? D.??4??2?4?
10．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t s内列车
2
前进的距离为s＝27t－0.45t(单位：m)，则列车刹车后________ s车停下来，期间列车前进了________ m.
11．如图K13－1所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.
图K13－1
－2t12．一质点在x轴上运动，其运动规律为x＝esin(ωt＋φ)(ω，φ为常数)，则t1
＝时质点运动的速度v＝________. 2
13．下列命题：
①若f(x)存在导函数，则f′(2x)＝[f(2x)]′；
?π?44
②若函数h(x)＝cosx－sinx，则h′??＝0；
?12?
③若函数g(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)…(x－2010)(x－2011)，则g′(2011)＝2010！；
32
④若三次函数f(x)＝ax＋bx＋cx＋d，则“a＋b＋c＝0”是“f(x)有极值点”的充要条件．
其中假命题为________．
1
14．(10分)设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线
x＋b方程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
322
15．(13分)[2011·六安模拟] 设函数f(x)＝x＋2ax＋bx＋a，g(x)＝x－3x＋2，其
中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；
(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1 难点突破 72 16．(12分)已知抛物线C：y＝x＋4x＋，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线 2 称为C在点M处的法线． 1 (1)若C在点M的法线的斜率为－，求点M的坐标(x0，y0)； 2 (2)设P(－2，a)为C的对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由． 课时作业(十三) 【基础热身】 1．A [解析] y′＝4x3＝4，得x＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y－1＝4(x－1)，整理得4x－y－3＝0. 2 2．D [解析] ∵点(2，e)在曲线上， x2 ∴切线的斜率k＝y′|x＝2＝e|x＝2＝e， 2222 ∴切线的方程为y－e＝e(x－2)，即ex－y－e＝0. 2 与两坐标轴的交点坐标为(0，－e)，(1,0)， 2 1e2 ∴S＝×1×e＝. 22 3．B [解析] 因为f(x)是R上的可导偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)在x＝0处取得极值，即f′(0)＝0，又f(x)的周期为5，所以f′(5)＝0，即曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为0，选B. 2 4．B [解析] 曲线上的点P到直线的最短距离，就是与直线y＝x－2平行且与y＝x－lnx相切的直线上的切点到直线y＝x－2的距离． 22 过点P作y＝x－2的平行直线，且与曲线y＝x－lnx相切，设P(x0，x0－lnx0)，则k1 ＝2x0－， x0 11|1－1－2| ∴2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)．∴P(1,1)，∴d＝＝2. x021＋1【能力提升】 332 5．D [解析] ∵s(t)＝t＋，∴s′(t)＝2t－2，∴机器人在时刻t＝2时的瞬时速度 tt313 为s′(2)＝4－＝. 44 －sinx1－x－－1cosxcosx－sinx＋xsinx6．B [解析] y′＝＝. 22 1－x1－xx212 7．A [解析] 由已知曲线y＝＋lnx的一条切线的斜率为2得y′＝x＋＝2，即x2x?1?－2x＋1＝0，解得x＝1，所以切点为?1，?，切线方程为4x－2y－3＝0，选A. ?2? fx1－fx2??8．C [解析] 由|f(x1)－f(x2)|≤K|x1－x2|，得??≤K，即曲线f(x) x1－x2?? 的切线的斜率的绝对值有最大值．对于①，f′(x)＝2，符合定义；对于②，|f′(x)|＝ 1?2cos?x＋π??≤2， 符合定义；对于③，f′(x)＝，不存在最大值；对于④，|f′(x)|????4????2x－1＝? 4x??≤2，符合定义．故选C. 2? ?2x＋1ln10?ln10 4e 9．D [解析] y′＝－x2， e＋1xx4e4e4 ∴tanα＝－x＝－， 2＝－x2xe＋1e＋2e＋11xe＋x＋2 e 1xx∵e＞0，∴e＋x≥2(当且仅当x＝0时取等号) e 14x∴e＋x＋2≥4，∴0＜≤1，∴－1≤tanα＜0. e1xe＋x＋2 e x
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