中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解

高等数学一第6章课后习题详解

课后习题全解

习题6-2

★ 1．求由曲线

y?x与直线

y?x所围图形的面积。

知识点：平面图形的面积

思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1

y D y?x

y?x 0 1 x 图6-2-1 ∵所围区域D表达为X-型：??0?x?1?0?y?1， （或D表达为Y-型：?2）

?x?y?x?y?x?y321∴SD1211??(x?x)dx?(x?x2)? 03260 （SD★ 2．求在区间[0，

??(y?y2)dy?011） 6?/2]上，曲线y?sinx与直线x?0、y?1所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解：见图6-2-2

1 / 27

图6-2-2 0 1 y D y?sinx ?/2x ???0?y?1?0?x?∵所围区域D表达为X-型：?， （或D表达为Y-型：） ?20?x?arcsiny???sinx?y?1? ∴SD??2(1?sinx)dx?(x?cosx)02?0??2?1

（ SD★★3．求由曲线

??arcsinydy?01?2?1）

y2?x与y2??x?4所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-3

0 4 2y y??x?4 y2?x 2D x ?2图6-2-3 ?y2?x?x?2??∵两条曲线的交点：?，

2y??2y??x?4??2 / 27

∴所围区域D表达为Y-型：???2?y?2?y?x?4?y22，

∴SD??2?2(4?y2?y2)dy?(4y?y3)23?2?2162 3（由于图形关于X轴对称，所以也可以解为：

SD?2?20216(4?y2?y2)dy?2(4y?y3)?2）

330y?x2、4y?x2、及直线y?1所围图形的面积

2★★4．求由曲线

知识点：平面图形面积

思路：所围图形关于Y轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4

图6-2-4 Dy1y?x 4y?x2 2 D1x 0 1 2 ?0?y?1∵第一象限所围区域D1表达为Y-型：?，

y?x?2y?∴SD?2SD1?2?(2y?y)dy?2?012y33120?4 30?x?1??2（若用X-型做，则第一象限内所围区域D1?Da?Db，其中Da：?x2，

?y?x??41?x?2?12x2x24?22Db：?x)dx?(1?)dx]?；∴SD?2SD?2[?(x?） ?101?y?1443??43 / 27

★★5．求由曲线

y?1与直线y?x及x?2所围图形的面积 x知识点：平面图形面积

思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-5

y 1 D y?x

y?1/xx 0 1 图6-2-5 2 ∵两条曲线 (2, y?1和y?x的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和x?2分别交于 x1)、(2, 2) 21?x?2??1∴所围区域D表达为X-型：?，

?y?x??x∴SD??21113(x?)dx?(x2?lnx)??ln2

x221y2?2x分圆x2?y2?8的面积为两部分，求这两部分的面积

2★★★6．抛物线

知识点：平面图形面积

思路：所围图形关于X轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为SD1，剩余面积为SD2

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y y2?2xD1 x 0 4 / 27 图6-2-6