∴V??R?R3(R2?x2)dx?433R 3★★9．求曲线
xy?a(a?0)与直线x?a，x?2a及y?0所围成的图形分别绕ox轴、oy轴旋转
一周所产生的旋转体体积。
知识点：旋转体体积
思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），代入相应的公式
a?2aa1?a?x?2a，绕x轴旋转产生的立体体积： V???()2dx??a； 解：平面图形D：?0?y?ax2?x?2aa2绕y轴旋转产生的立体体积： V??2?xdx?2?a
ax（绕y轴旋转产生的立体体积如同1（2）也有两种计算法）
★★★★10．设直线
y?ax?b与直线x?0，x?1，及y?0所围成的梯形面积等于A，试求a、b，
使这个梯形绕x轴旋转所得旋转体体积最小（a?0，b?0）。
知识点：旋转体体积，以及最值问题
思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），进而求出以a,b为变量的旋转体体积，再求
最小值。 y?ax?b 解：梯形区域D：0?x?1 ，0?y?ax?b， 0 1 a2?ab?b2) ∴V???(ax?b)dx??(03121421(b?a?b)?A，∴V(b)??(A2?Ab?b2) 23332 V?(b)??(b?A)?0，得b?A，a?0
3∵由条件
习题6-4
★★1．用定积分表示双曲线
xy?1上从点（1，1）到点（2，1/2）之间的一段弧长。
?1y）代入相应公式计算弧长
思路：曲线表达为y?1x（或x17 / 27
解：y???1x2，∴s??ba1?y?2dx??211?1dx x4★★2．计算曲线
y?lnx上相应于3?x?8的一段弧的弧长。
y思路：曲线表达为y?lnx（或x?e）代入相应公式计算弧长
2b881?x1112x?t181?t2解：y??，∴s??1?y?dx??1?2dx??(dx)??dt 2a333x22txx21?t?u??32u21u?113du?(u?ln)?1?ln22u?1222u?13
★★3．计算曲线
y?1x(3?x)上相应于1?x?3的一段弧的弧长。 3解：y??12x?x11?(?x)， 22x331?x(1?x)2121?dx??dx)?(2x?x214x232x33∴s??ba1?y?2dx??1?23?14 3★★4．计算曲线
x?121y?lny（1?y?e）的弧长。 42解：x??y111??(y?)， 22y2y∴s??ba1?x?2dy??e12ey?11121y2e2?11?(y?)dy??dy?(?lny)?
14y2y2241e★★★5．计算抛物线
y2?2px（p?0）从顶点到其上点M(x,y)的弧长。
），代入相应公式计算弧长
y2思路：抛物线表达为y??2px（或x?2p解：x??y， p∴s??ba?y1p2?y2dy, y?0???0p2?1?xdx??0?122??p?ydy, y?0yp???y01pp2?y2dy
18 / 27
y?ptant
??yarctanp0psec3tdt?p(secttant?lnsect?tant)20arctanyp
22y?pyp?y ?(?ln2p2p2?y2px
（或通过公式s??ba1?y?dx??201?pdx计算） 2x）的弧长等于椭圆x2★★★★6．证明曲线
y?sinx的一个周期（0?x?2??2y2?2的周长。
思路：分别求出y?sinx的弧长s1及椭圆的周长s2，求椭圆周长时采用参数式求解 解： y?sinx的弧长s1???ba1?y?2dx??2?01?cos2xdx?4?21?cos2xdx
0??4?21?sin2xdx
0 椭圆方程表达为：x??2cost，y?sint；代入公式得弧长
??220 s2?4?20x??y?dt?4?22sint?costdt?4?21?sin2tdt
022 ∴s1?s2
★★★7．求对数螺线r?ea?相应于自??0至???的一段弧的弧长。
a?思路：曲线是极坐标的表达式r?e?22，因此代入公式s??2a???r2(?)?r?2(?)d?
解： s???r(?)?r?(?)d????0e2a??ae21?a2a?d??(e?1)
a★★★8．求曲线
r??1相应于自??134至??的一段弧的弧长。 43，因此代入公式s思路：曲线是极坐标的表达式r??????r2(?)?r?2(?)d?
解： s????r2(?)?r?2(?)d???43341?2?1?d??(?41??243??ln1??2??)34
?53?ln 122（其中
?1??2?2sect1sin2t?cos2t2d???sectdt??dt??dt 222tantsintcostsintcost??tant19 / 27
cost11??22??(sect?)dt?lnsect?tant??C?ln1?????2sint?sint★★★9求曲线
）
x?arctant，y?1ln(1?t2)相应于自t?0至t?1的一段弧的弧长。 2思路：曲线是参数表达式x??(t),y??(t)，因此代入公式s?解：s??????2(t)???2(t)dt
?????(t)???(t)dt??21221011t21?dt??01?t2dt
(1?t2)2(1?t2)2 ?lnt?1?t?ln(1?2)
0习题6-5
★1．设一质点距原点x米时，受F(x)?x2?2x牛顿力的作用，问质点在F作用下，从x?1移动到
x?3，力所做的功有多大？
知识点：微元法在物理上的应用
思路：当变力沿直线作功，质点从x至x?dx段所作功的微元dW?F(x)dx。 解：∵dW?F(x)dx?(x?2x)dx
∴W2??31x3502(x?2x)dx?(?x2)?
331?1?t(m/s)，求该物体自运动开始到10s末所经过的路程，并
3★★2．某物体作直线运动，速度为v求物体在前10s内的平均速度。
知识点：微元法在物理上的应用
思路：变速直线运动物体在t至t?dt时间段内所经过路程的微元dS?V(t)dt。 解：∵dS?V(t)dt?1?tdt
∴S??10021?tdt?(1?t)331020?2(1111?1) （m）； 3V?
S2?(1111?1)（m/s） 1030/cm2的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽
★★★3．直径为20cm，高为80cm的圆柱体内充满压强为10N20 / 27
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