专题01 集合与常用逻辑用语
易错点1 忽略集合中元素的互异性
设集合A?{x,x,xy},B?{1,x,y}，若A?B，则实数x,y的值为
2?x?1A．?
y?R?C．?
?x??1B．?
y?0?D．??x?1 ?y?1
?x?1?x??1?x?1或?或?
?y?R?y?0?y?1?x2?1?x2?y?x?1?x??1?x?1【错解】由A?B得?或?，解得?或?或?，所以选D．
y?Ry?0y?1????xy?y?xy?1【错因分析】在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就不算了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．当??x?1?x?1时，A=B={1,1，y}，不满足集合元素的互异性；当?时，A=B={1,1,1}y?Ry?1???x??1时，A=B={1，?1,0}，满足题意．
?y?0也不满足元素的互异性；当?
集合中元素的特性：
（1）确定性. 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，
要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合；
（2）互异性. 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特
性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素
（3）无序性. 集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集
合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系
1．集合{x–1，x2–1，2}中的x不能取得值是 A．2
B．3
C．4 D．5
【解析】当x=2时，x–1=1，x2–1=3，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x=3时，x–1=2，集合中元素重复，不满足互异性，集合表示错误；当x=4时，x–1=3，x2–1=15，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x=5时，x–1=4，x2–1=24，满足集合元素的互异性，集合表示正确；故选B． 【答案】B
易错点2 误解集合间的关系致错
已知集合A??0,1?，B?{x|x?A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是 A．A?B C．B??A
B．A??B D．A?B
【错解】因为x?A，所以B?{?，?0?，?1?，?0,1?}，所以A??B，故选B．
【试题解析】因为x?A，所以B?{?，?0?，?1?，?0,1?}，则集合A??0,1?是集合B中的元素，所以
A?B，故选D．
【参考答案】D
（1）元素与集合之间有且仅有“属于（?）”和“不属于（?）”两种关系，且两者必居其一.判断一个对象是
否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.
（2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是
集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）；如果集合A?B，但存在元素x?B，且x?A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A??B（或
B??A）.
2．若集合，，则有
A．
B．M??N
C．M??N 【解析】，
D．
，
故M??N. 故选B． 【答案】B
易错点3 忽视空集易漏解
x已知集合A={x|x-3x-10?0}，B={x|m+1＃A．[?3,3] C．(??,3]
22m-1}，若AUB=A，则实数m的取值范围是
B．[2,3] D．[2,??)
【错因分析】空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知，对于任何一个集合A，都有AU??A，所以错解中忽略了B??时的情况.
【试题解析】∵AUB=A，∴B?A.A={x|x-3x-10?0}{x|-2＃x①若B=?，则m+1>2m-1，即m<2，故m<2时，AUB=A； ②若B??，如图所示，
则m+1?2m1，即m32.
25}，
??2?m?1由B?A得?，解得?3?m?3.又∵m32，∴2?m?3.
2m?1?5?由①②知，当m?3时，AUB=A. 【参考答案】C
（1）对于任意集合A，有AI???，AU??A，所以如果AIB??，就要考虑集合A或B可能是?；
如果AUB?A，就要考虑集合B可能是?.
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即??A，???B(B??).
3．集合，若，则实数的取值范围是 A． C．
B．
D．
【解析】当时，集合，满足题意；当时，，若，则，∴，所以，故选B． 【答案】B
易错点4 A是B的充分条件与A的充分条件是B的区别
设a,b?R,则“a?b?4”是“a?2,且b?2”的] A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【错解】选A．
【错因分析】充分必要条件的概念混淆不清致错.
【试题解析】若a?2,且b?2，则a?b?4，但当a?4,b?1时也有a?b?4，故本题选B． 【参考答案】B
（1）“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B，即B?A且AT/B； （2）“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A，即A?B且BT/A.
4．已知a，b?R，若a2?b2?1的一个充分不必要条件是ab?m(m?0)，则实数m的取值范围是 A．???,??
2
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
??1??
B．???,?2 ?C．???1?,0? 2??
D．?2,0? ?【解析】由基本不等式得，a2?b2?2ab?1?ab?一个充分不必要条件是ab?m(m?0)，则m??【答案】A
1122，由ab?0?ab??，又因为a?b?1的221，故选A． 2易错点5 命题的否定与否命题的区别
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