2020年成人高考专升本高等数学一知识点复习
一、题型分布：
试卷分选择、填空、解答三部分，分别占40分、40分、70分
二、内容分布
年份 极限函数 求导微分 积分 空间几何 多元函数 无穷级数 常微分方程 2019 24 2018 24 2017 28 2016 24 2015 20 2014 24
难点：隐函数求导、全微分、多元函数极值、常微分方程
复习方法：
1、结合自身情况定目标
2、分章节重点突破，多做题，做真题
32 38 38 36 36 44 38 44 36 38 40 28 4 4 8 4 0 8 30 22 22 30 32 22 4 4 8 4 8 10 18 14 10 14 14 14 17
第一章：极限与连续
1-1、极限的运算 1、极限的概念
(1)设函数??=??(??)在点??0的某个邻域内有定义，如果当??无限趋于??0时函数??(??)无限地趋于一个常数A，则称A为函数??(??)当??→??0时的极限，记作lim??(??)=A
??→??0
(2)左极限、右极限；在某点极限存在，左右极限存在且唯一。
??→??0?
lim??(??)=A lim??(??)=A
??→??0+
2、无穷小量与无穷大量
无穷小量定义：对于函数??=??(??)，如果当??在某个变化过程中，函数??(??)的极限为0，则称在该变化过程中， ??(??)为无穷小量，记作lim??(??)=0
??→??0
无穷大量定义：对于函数??=??(??)，如果当??在某个变化过程中，函数??(??)的极限值越来越大，则称在该变化过程中， ??(??)为无穷大量，记作lim??(??)=∞
??→??0
3、无穷小量与无穷大量的关系
在同一变化过程中，如果??(??)为无穷大量，且??(??)≠0，则
1??(??)1
为无穷小量；
在同一变化过程中，如果??(??)为无穷小量，且??(??)≠0，则??(??)为无穷大量；
4、无穷小量的性质
性质1：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量 ★性质2：无穷小量与有界函数的积仍是无穷小量
5、无穷小量的比较与替换
定义：设α，??是同一变化过程中的无穷小量，即lim??=0，lim??=0
（1）如果lim??=0，则称??是??比较高阶的无穷小量
??
（2）如果lim??=∞，则称??是??比较低阶的无穷小量
??
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??
（3）如果lim??=c≠0，则称??是与??同阶的无穷小量
（4）如果lim=1，则称??与??是等价的无穷小量
??
??
★常见的等价无穷小量：
当??→0时，?? ~sin??~tan??~ ??????sin??~ ??????tan?? ~ ?????1 ~ ln (1+??) 1?cos??~2??2
★★6、两个重要极限 （1）lim
sin????
??→0
1
=1
1
1
（2）lim(1+)??=?? 或lim(1+??)??=??
??→∞
??
??→0
★★7、求极限的方法 （1）直接代入法：分母不为零 （2）分子分母消去为0公因子 （3）分子分母同除以最高次幂
（4）利用等价代换法求极限（等价无穷小） （5）利用两个重要极限求极限 （6）洛必达求导法则（见第二章）
1-2、函数的连续性
1、函数在某一点上的连续性
定义1：设函数??=??(??)在点??0的某个邻域内有定义，如果有自变量???趋近于0时，相应的函数改变量???也趋近于0，即lim[??(??0+???)???(??0)]=0，则称函数??=??(??)在??0处连续。
???→0
定义2：设函数??=??(??)在点??0的某个邻域内有定义，如果当 ??→??0时，函数??(??)的极限存在，且等于??0处的函数值??(??0)， lim??(??)=??(??0)，则称函数??=??(??)在??0处连续。
??→??0
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第二章、一元函数微分学
2-1、导数与微分 1、导数概念
定义1：设函数??=??(??)在点??0的某个邻域内有定义，如果有自变量??在点??0处的改变量???，相应的函数改变量???=??(??0+???)???(??0)。如果极限lim??(??)在??0处的导数。表示形式如下：
???→0
??(??0+???)???(??0)
???
???→0
存在，则称此极限为函数??=
lim
??(??0+???)???(??0)
???
、lim
??(??)???(??0)?????0
??→??0
、lim
??(??0+?)???(??0)
h
?→0
★★2、常见的求导公式
（1）、(c)′=0 （2）、(x??)′=a?????1 （3）、(log????)′=???????? （4）、(??????)′=?? （5）、(a??)′=a???????? （6）、(????)′=e?? （7）、(sin??)′=cos?? （8）、(cos??)′=?sin??
★★3、导数的运算法则 （1）(u±v)′=u′+v′ （2）(u?v)′=u′v+uv′ （3）(cu)′=cu′ （4）()′=
??
★4、复合函数求导
如果函数??=??(??)在点??处可导，函数??=??(??)在对应点??处也可导，则复合函数??=??[??(??)]在点??处可导，且有
5、隐函数求导
隐函数：??与y之间的函数关系是由一个方程F(??,??)=0来确定这种称之为隐函数。如：?????????+??2=0
隐函数的求导方法：直接在方程F(??,??)=0的两端同时对??求导，而把??视为中间变量，利用复合函数求导即可。
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dydx
u
u′v+uv′
??2
1
1
=
dy????du????
? 。
6、高阶求导
如果函数??=??(??)的导数函数??′=??′(??)仍是函数??的可导函数，那么就称函数??′(??)的导数为函数??(??)的二阶导数，二阶导数记为函数??′′,??′′(??)
★7、微分公式????=??′????
（1）d(c)=0 （2）d(x??)=a?????1???? （3）d(a??)=a???????????? （4）d(e??)=e?????? （5）d(log????)=???????????? （6）d(??????)=??dx （7）d(sin??)=cos?????? （8）d(cos??)=?sin??????
★★2-2、洛必达法则 1、概念
如果当??→??（或∞）时，函数??(??)与??(??)都趋于0或都趋于∞，则称lim??(??)为未定型极限，并分
??→??
??(??)
1
1
别简记为 或。lim
0
∞
0∞??(??)
??→????(??)
=lim
??′(??)
??→????′(??)
2、求法
（1）先判定是否符合 或型
0
∞0
∞
（2）分别对分子分母求导，如果求导完还是 或型那么再对分子分母求导
0
∞
0∞
（3）当出现分母不为0时，就可以直接代入求解。
★★2-3、导数的应用 1、函数的单调性、单调区间 设函数??=??(??)在区间(??,??)内可导，
（1）如果在区间(??,??)内??′(??)>0，则函数??=??(??)在区间(??,??)内是单调递增的 （2）如果在区间(??,??)内??′(??)<0，则函数??=??(??)在区间(??,??)内是单调递减的
2、函数的极值
设函数??=??(??)在点??0的某个邻域内有定义
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