（1）如果??≠??0时，恒有??(??)??(??0)则称??0为极小值点，??(??0)为极小值。 极值求法：
（1）求??(??)的导数??′(??)
（2）令??′(??)=0，求出????即为驻点
（3）分别求出????左右的导数??′(??)的符号，左正右负，此时??(??)取得极大值；左负右正，此时??(??)取得极小值。
3、曲线的凹凸性及拐点
曲线的凹凸性：设函数??=??(??)在区间[??,??]上连续，在(??,??)内具有一阶导数和二阶导数，那么：（1）如果在区间(??,??)内??′′(??)>0，则函数??=??(??)在区间[??,??]的图形是凹的 （2）如果在区间(??,??)内??′′(??)<0，则函数??=??(??)在区间[??,??]的图形是凸的 曲线的拐点：在连续的曲线上的凹弧与凸弧之间的分界点称为曲线的拐点。
17
第三章、一元函数积分学
3-1、不定积分 1、原函数：
设函数??(??)在某一区间上有定义，若存在函数??(??)，使??′(??)=??(??)成立，则称??(??)为函数??(??)的原函数。 2、不定积分
函数??(??)在区间I上的所有原函数的全体??(??)+??叫做??(??)在区间I上的不定积分，记作∫??(??)????，
即∫??(??)????=??(??)+??
★3、不定积分的性质
（1）∫????(??)????=??∫??(??)????
（2）∫[??(??)±??(??)]????=∫??(??)???? ±∫??(??)???? （3）(∫??(??)????)′=??(??) （4）∫??′(??)????=??(??)+??
★★4、基本积分公式 （1）∫??????=????+?? （2）∫????????=（3）∫????????=
??+1
??+?? ??+1
????+?? ??????11
（4）∫????????=????+?? （5）∫????=???? |??|+??
??1
（6）∫????????????=?????????+?? （7）∫????????????=????????+??
★★5、第一换元积分法（凑微分法）
设??(??)具有原函数??(??)，??=??(??)可导，则有换元公式
∫??[??(??)]??′(??)????=∫??[??(??)]????(??)=∫??(??)????=??(??)+??=??[??(??)]+??
6、分部积分法
设函数具有连续的导函数，则有∫????′????=?????∫????′????即∫??????=?????∫??????
17
3-2、定积分 ★1、定积分的性质
（1）∫????(??)????=??∫????(??)???? ??
（2）∫[??(??)±??(??)]????=∫????(??)????±∫????(??)???? ??（3）∫??(??)????=0 ??
（4）∫??(??)????=∫????(??)????+∫????(??)???? ??
★2、变上限的定积分定理
若函数??(??)在区间[a,b]上连续，则变上限积分??(??)=∫??(??)????是被积函数??(??)的一个??
??
??
??
??
????
??
??
??
??
原函数，即??′(??)=??(??)
★★3、牛顿---莱布尼茨公式
∫????(??)????= ??(??)|????=??(??)???(??)
4、反常积分（广义积分）
+∞
??
??
∫
?????∞
??(??)????=lim∫??(??)????
??→+∞??
??
??→?∞??
∫??(??)????=lim∫??(??)????
★5、定积分的求法 （1）定积分的换元积分法
∫??(??)????=∫??[??(??)]??′(??)????
??
??
????
（2）定积分的分部积分法
????′???? 或∫????????=????|???????? ∫??????′????=????|?????∫???∫????
★★（3）奇偶函数在对称区间上的积分
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????????
????
若??(??)在[-a,a]上为连续奇函数，则∫??(??)????=0 ???
若??(??)在[-a,a]上为连续偶函数，则∫??(??)????=2∫0??(??)???? ???
★3-3、定积分的应用 1、求平面图形的面积
（1）由曲线??=??(??)，直线??=??，??=??(????1(??)及两直线??=??，??=??所围成的面积为S=∫[??2(??)???1(??)]???? ??
（3）由曲线??=??(??)，直线??=??，??=??(????1(??)及两直线??=??，??=??所围成的面积为S=∫[??2(??)???1(??)]???? ??
（5）由两曲线??=??1(??)，??=??2(??)，??2(??)>??1(??)所围成的封闭图形的面积为S=∫[??2(??)???1(??)]???? ??
其中??是交点中??的最小值，??是交点中??的最大值
★2、旋转体的体积
（1）由曲线段??=??(??)， ??∈[??,b]绕??轴旋转一周所成的旋转体的体积为：V=π∫????(??)???? （2）由曲线段??=??(??)， ??∈[??,??]绕??轴旋转一周所成的旋转体的体积为：V=π∫????2(??)???? （3）由两曲线??=??1(??)，??=??2(??)，且??|??2(??)|>|??1(??)|及两直1(??)，??2(??)在??轴同侧，
????2
????
??
??
??
??
线??=??，??=??所围成的平面图形绕??轴旋转一周所成的旋转体的体积为： V=
22
()(??)]???? π∫[???????21??
??
（4）由两曲线??=??1(??)，??=??2(??)，且??1(??),??2(??)在??轴同侧，|??2(??)|>|??1(??)|及两
直线??=??，??=??所围成的平面图形绕??轴旋转一周所成的旋转体的体积为： V=
π∫[??22(??)???12(??)]??????
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??
第四章、空间解析几何
4-1、平面与直线 ★1、平面方程
（1）平面一般式方程：????+????+????+??=0，法向量n={A,B,C}
（2）平面点法式方程：??(?????0)+??(?????0)+??(?????0)=0，法向量n={A,B,C} （3）特殊的平面方程
①????+????+????=0 表示过原点的平面方程
②????+????+??=0 表示平行于z轴的平面方程 ③????+????=0 表示过z轴的平面方程 ④????+??=0 表示垂直于z轴的平面方程
★2、直线方程 直线的标准式方程：3、平面的位置关系
设两平面 ??1：??1??+??1??+??1??+??1=0
平面 ??2：??2??+??2??+??2??+??2=0
（1）??1⊥??2的充要条件：??1??2+??1??2+??1??2=0 （2）??1// ??2的充要条件：??1=??1=??1
2
2
2
?????0??
=
?????0??
=
?????0??
方向向量S={m,n,p}
??????
4、两直线的位置关系 设两直线??1、??2的方程 ??1：
?????1??1
=
?????1??1
=
?????1??1
和 ??2：
?????2??2
=
?????2??2
=
?????2??2
（1）??1⊥??2的充要条件：??1??2+??1??2+??1??2=0 （2）??1// ??2的充要条件：??1=??1=??1
2
2
2
??????
5、直线??与平面??的位置关系
??：????+????+????+??=0 ?????0?????0?????0??：==
??????直线?? // ??的充要条件：????+????+????=0 直线??⊥??的充要条件：=
????
????
??
= ??
4-2、简单二次曲面 ★常见的二次曲面方程
球 面：(x?a)2+(y?b)2+(z?c)2=R2 椭 球 面：??2+??2+??2=1 圆 柱 面：x2+y2=R2 椭圆柱面：??2+??2=1 双曲柱面：??2???2=1
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??2
??2
??2
??2
??2
??2
??2
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