当n≥2时，由bn＝Sn－Sn－1， 得bn＝－，
2（bn＋1－bn）2（bn－bn－1）整理得bn＋1＋bn－1＝2bn．
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列． 因此，数列{bn}的通项公式为bn＝n(n∈N)． ②由①知，bk＝k，k∈N．
因为数列{cn}为“M－数列”，设公比为q，所以c1＝1，q>0． 因为ck≤bk≤ck＋1，所以q当k＝1时，有q≥1；
ln kln k当k＝2，3，…，m时，有≤ln q≤．
kk－1ln x1－ln x设f(x)＝(x>1)，则f′(x)＝． 2
k－1*
*
bnbn＋1bn－1bn≤k≤q，其中k＝1，2，3，…，m．
kxx令f′(x)＝0，得x＝e．列表如下： x f′(x) f(x) (1，e) ＋ e 0 极大值 (e，＋∞) － ln 2ln 8ln 9ln 3ln 3因为＝<＝，所以f(k)max＝f(3)＝．
26633
ln k3
取q＝3，当k＝1，2，3，4，5时，≤ln q，即k≤qk，经检验知qk－1≤k也成立．因
k此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k＝3，6，得3≤q，且q≤6，从而q≥243，且q≤216，所以q不存在．因此所求m的最大值小于6．
综上，所求m的最大值为5．
数列综合与创新问题的解题策略
(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项公式、求通项公式需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．
(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，
3
5
15
15
- 6 -
这些细节对解题的影响也是巨大的．
[对点训练]
2．对于给定的正整数k，若数列{an} 满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan对任意正整数n(n>k) 总成立，则称数列{an} 是“P(k)数列”． (1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；
(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列． [证明] (1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，从而，当n≥4时，
an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1，2，3，
所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an， 因此等差数列{an}是“P(3)数列”．
(2)数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此， 当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①
当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an．② 由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③
an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④
将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4， 所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′． 在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4， 所以a2＝a3－d′，
在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3， 所以a1＝a3－2d′， 所以数列{an}是等差数列．
1．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N)且a1＝5，则a8＝________． [解析] 数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N)且a1＝5，令m＝1，则Sn＋1＝
**
Sn＋S1＝Sn＋5，即Sn＋1－Sn＝5，所以an＋1＝5，所以a8＝5．
[答案] 5
2．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1，a3，a4成等比数列，则
S3
S7－S4
的值为________．
- 7 -
[解析] 法一：设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a3，a4成等比数列， 所以a3＝a1a4，所以(a1＋2d)＝a1(a1＋3d)，
3×23a1＋d2S33a1＋3d－9d因为d≠0，所以a1＝－4d，所以＝＝＝＝－
S7－S44×3?3a1＋15d3d7×6?
d7a1＋d－?4a1＋
2?2??3．
法二：设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a3，a4成等比数列， 所以a3＝a1a4，所以(a1＋2d)＝a1(a1＋3d)，因为d≠0，所以a1＝－4d， 所以
3a2a1＋d－3d＝＝＝＝－3． S7－S43a6a1＋5dd2
2
2
2
S3
[答案] －3
3．(2019·泰州市高三模拟)设f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2＋ln，记an4＝f(n－5)，则数列{an}的前8项和为________．
[解析] 数列{an}的前8项和为a1＋a2＋…＋a8＝f(－4)＋f(－3)＋…＋f(3)＝f(－4)＋[f(－3)＋f(3)]＋[f(－2)＋f(2)]＋[f(－1)＋f(1)]＋f(0)＝f(－4)＝－f(4)＝－(2＋ln 1)＝－16．
[答案] －16
4．(2019·日照模拟改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝________．
[解析] 由Sn＝n－6n可得，当n≥2时，
2
2
4
xxan＝Sn－Sn－1＝n2－6n－(n－1)2＋6(n－1)＝2n－7．
当n＝1时，S1＝－5＝a1，也满足上式， 所以an＝2n－7，n∈N．
所以n≤3时，an＜0；n≥4时，an＞0，
??6n－n，1≤n≤3，
所以Tn＝?2
?n－6n＋18，n≥4．??6n－n，1≤n≤3，?
[答案] ?2
?n－6n＋18，n≥4?
22
*
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，并且S10>0，S11<0，若Sn≤Sk对n∈N恒成立，则正整数k的值为________．
*
- 8 -
[解析] 由S10>0，S11<0知a1>0，d<0，并且a1＋a11<0，即a6<0，又a5＋a6>0，所以a5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S5最大，则k＝5．
[答案] 5
6．(2019·南京高三模拟)若等比数列{an}的各项均为正数，且a3－a1＝2，则a5的最小值为________．
[解析] 设等比数列{an}的公比为q(q＞0且q≠1)，则由a3－a1＝2，得a1＝
4
2
．因为q－1
2
42q?1?a3－a1＝2＞0，所以q＞1，所以a5＝a1q＝2．令q2－1＝t＞0，所以a5＝2?t＋＋2?≥8，q－1?t?
当且仅当t＝1，即q＝2时，等号成立，故a5的最小值为8．
[答案] 8
??a（a≥b）
7．(2019·江苏名校高三入学摸底)定义实数a，b之间的运算⊕如下：a⊕b＝?，
?b（a 2（an＋1⊕2）* 已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝(n∈N)，若a2 017＝1，记数列{an}的前n项 an和为Sn，则S2 017的值为________． [解析] 因为a1＝1，a2＝1，所以a3＝4，a4＝8，a5＝4， a6＝1，a7＝1，a8＝4，… 即此时{an}是周期数列，且周期为5， 所以a2 017＝a2＝1，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝18， 故S2 017＝403×18＋a1＋a2＝7 256． [答案] 7 256 8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝________． [解析] 因为an＋1－an＝2， 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2 n－1 nn＋2 n－2 2－2nn＋…＋2＋2＋2＝＋2＝2－2＋2＝2． 1－2 2 n2－2n＋1 所以Sn＝＝2－2． 1－2[答案] 2 n＋1 n＋1 －2 9．(2019·徐州调研)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为________． - 9 - [解析] 设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a7＝36， 所以a4＋a6＝36， ??a4＝11，??a4＝25，?与a4a6＝275，联立，解得或? ?a6＝25?a6＝11，?? ???a4＝11，?a1＝－10， 当?时，可得?此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an<0，?a6＝25?d＝7，?? 当n≥3时，an>0， 所以a2a3＝－12为anan＋1的最小值； ???a4＝25，?a1＝46，当?时，可得?此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，??a＝11d＝－7，6?? 当n≥8时，an<0， 所以a7a8＝－12为anan＋1的最小值． 综上，anan＋1的最小值为－12． [答案] －12 10．(2019·昆明调研)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵： a1a2，a3a4，a5，a6a7，a8，a9，a10 …… 记数阵中的第1列数a1，a2，a4，…构成的数列为{bn}，Sn为数列{bn}的前n项和．若Sn＝2bn－1，则a56＝________． [解析] 当n≥2时，因为Sn＝2bn－1，所以Sn－1＝2bn－1－1，所以bn＝2bn－2bn－1，所以bn＝2bn－1(n≥2且n∈N)，因为b1＝2b1－1，所以b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，所以bn＝2 n－1* ． 设a1，a2，a4，a7，a11，…的下标1，2，4，7，11，…构成数列{cn}，则c2－c1＝1，c3－ c2＝2，c4－c3＝3，c5－c4＝4，…，cn－cn－1＝n－1，累加得，cn－c1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－ 1)，所以cn＝n（n－1） 2 ＋1，由cn＝ n（n－1） 2 ＋1＝56，得n＝11，所以a56＝b11＝2＝1 024． 10 [答案] 1 024 - 10 -
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