11．(2019·江苏名校高三入学摸底)构造数组，规则如下：第一组是两个1，即(1，1)，第二组是(1，2a，1)，第三组是(1，a(1＋2a)，2a，a(2a＋1)，1)，…，在每一组的相邻两
?1?个数之间插入这两个数的和的a倍得到下一组，其中a∈?0，?．设第n组中有an个数，且这?4?
an个数的和为Sn(n∈N*)．
(1)求an和Sn； (2)求证：
a1－1a2－1an－1n＋＋…＋≥． S1S2Sn2
[解] (1)由题意可得a1＝2，an＋1＝an＋(an－1)＝2an－1，所以an＋1－1＝2(an－1)，又a1
－1＝1，则an－1＝2
n－1
，所以an＝2
n－1
＋1．
又S1＝2，且Sn＋1＝Sn＋2a(Sn－1)＝(2a＋1)Sn－2a，则Sn＋1－1＝(2a＋1)(Sn－1)，又S1
－1＝1，
所以Sn－1＝(2a＋1)
n－1
，所以Sn＝(2a＋1)
n－1
＋1．
n－1
an－12
(2)证明：令bn＝，则bn＝． n－1
Sn（2a＋1）＋1
下面用分析法证明数列{bn}为单调递增数列．
n－1n22?1?n－1
要证bn ＋2>(2a＋1)＋1，只需证2(2a＋1)单调递增数列． 所以 nn－1 ≥(2a＋1)，即证2≥2a＋1，显然成立，则数列{bn}为 na1－1a2－1an－1?a1－1?n＋＋…＋≥n??＝． S1S2Sn?S1?2 12．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知各项均为正数的数列{an}满足：a1＝a，a2＝b， an＋1＝anan＋2＋m(n∈N*)，其中m，a，b均为实常数． (1)若m＝0，且a4，3a3，a5成等差数列． ①求的值； ??an，n为奇数②若a＝2，令bn＝?，求数列{bn}的前n项和Sn； ?2log2an－1，n为偶数? ba(2)是否存在常数λ，使得an＋an＋2＝λan＋1对任意的n∈N都成立？若存在，求出实数λ的值(用m，a，b表示)；若不存在，请说明理由． [解] (1)①因为m＝0，所以an＋1＝anan＋2， 所以正项数列{an}是等比数列，不妨设其公比为q．又a4，3a3，a5成等差数列， 所以q＋q＝6，解得q＝2或q＝－3(舍去)， - 11 - 2 2 * 所以＝2． ②当a＝2时，数列{an}是首项为2、公比为2的等比数列，所以an＝2， ?2，n为奇数，? 所以bn＝? ??2n－1，n为偶数， nnba即数列{bn}的奇数项依次构成首项为2、公比为4的等比数列，偶数项依次构成首项为3、公差为4的等差数列． nn2（1－42）2 当n为偶数时，Sn＝＋ 1－42（2 当n为奇数时，Sn＝ 2 n＋1 n＋1 （3＋2n－1）n＋12 2n＋n2＝＋－； 2323 n＋2 2 －1）（n＋1）（n＋1＋1）2n－n2 ＋－(2n＋1)＝＋－． 32323 ??3＋2－3，n为偶数 所以S＝?． 2n－n2??3＋2－3，n为奇数 nn＋2 2 n2＋n2 a2＋b2－m* (2)存在常数λ＝，使得an＋an＋2＝λan＋1对任意的n∈N都成立． ab证明如下：因为an＋1＝anan＋2＋m(n∈N)， 所以an＝an－1an＋1＋m，n≥2，n∈N， 所以an＋1－an＝anan＋2－an－1an＋1， 即an＋1＋an－1an＋1＝anan＋2＋an． 由于an>0，此等式两边同时除以anan＋1，得所以 2 2 2 2 2 * 2 * an＋an＋2an－1＋an＋1 ＝， an＋1anan＋an＋2an－1＋an＋1a1＋a3 ＝＝…＝， an＋1ana2 * 即当n≥2，n∈N时，都有an＋an＋2＝ 2 a1＋a3 an＋1． a2 因为a1＝a，a2＝b，an＋1＝anan＋2＋m， b2－m所以a3＝， ab2－ma＋ aa1＋a3a2＋b2－m所以＝＝， a2baba2＋b2－m* 所以当λ＝时，对任意的n∈N都有an＋an＋2＝λan＋1成立． ab13．(2019·泰州市高三模拟)已知数列{an}，{bn}满足2Sn＝(an＋2)bn，其中Sn是数列{an}的前n项和． - 12 - 21 (1)若数列{an}是首项为，公比为－的等比数列，求数列{bn}的通项公式； 33(2)若bn＝n，a2＝3，求数列{an}的通项公式； (3)在(2)的条件下，设cn＝，求证：数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积． 1?n2?1?n－1?[解] (1)因为an＝?－?＝－2?－?， 3?3??3?2?1?n???－??3?1－??3??1??1?n? Sn＝＝?1－?－??， 1?2??3???1－?－??3? anbn所以bn＝ 2Sn＝an＋2 1＝． 21?n?－2?－?＋2 ?3? ?1?1－?－??3? n(2)若bn＝n，则2Sn＝nan＋2n，① 所以2Sn＋1＝(n＋1)an＋1＋2(n＋1)，② ②－①得2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋2， 即nan＝(n－1)an＋1＋2，③ 当n≥2时，(n－1)an－1＝(n－2)an＋2，④ ④－③得(n－1)an－1＋(n－1)an＋1＝2(n－1)an， 即an－1＋an＋1＝2an， 由2S1＝a1＋2，得a1＝2，又a2＝3， 所以数列{an}是首项为2，公差为3－2＝1的等差数列， 故数列{an}的通项公式是an＝n＋1． (3)证明：由(2)得cn＝* n＋1 ， n* 对于给定的n∈N，若存在k≠n，t≠n，k，t∈N，使得cn＝ck·ct，只需1?1??1?1111n（k＋1）即1＋＝?1＋?·?1＋?，即＝＋＋，则t＝， n?k??t?nktktk－n取k＝n＋1，则t＝n(n＋2)， n＋1k＋1t＋1 ＝·， nktn＋1n＋2n2＋2n＋1 所以对数列{cn}中的任意一项cn＝，都存在cn＋1＝和cn2＋2n＝2，使得cnnn＋1n＋2n＝cn＋1·cn2＋2n． - 13 - ??2an，n＝2k－1* 14．(2019·盐城高三模拟)已知数列{an}满足a1＝m，an＋1＝?(k∈N，r∈R)， ?an＋r，n＝2k? 其前n项和为Sn． (1)当m与r满足什么关系时，对任意的n∈N，数列{an}都满足an＋2＝an? (2)对任意的实数m，r，是否存在实数p与q，使得{a2n＋1＋p}与{a2n＋q}是同一个等比数列？若存在，请求出p，q满足的条件；若不存在，请说明理由； (3)当m＝r＝1时，若对任意的n∈N，都有Sn≥λan，求实数λ的最大值． [解] (1)由题意，得a1＝m，a2＝2a1＝2m，a3＝a2＋r＝2m＋r，由a3＝a1，得m＋r＝0． ??2an，n＝2k－1* 当m＋r＝0时，因为an＋1＝?(k∈N)， ??an－m，n＝2k* * 所以a1＝a3＝…＝m，a2＝a4＝…＝2m， 故对任意的n∈N，数列{an}都满足an＋2＝an． 即当实数m，r满足m＋r＝0时，题意成立． (2)依题意，a2n＋1＝a2n＋r＝2a2n－1＋r，则 * a2n＋1＋r＝2(a2n－1＋r)， 因为a1＋r＝m＋r，所以当m＋r≠0时，{a2n＋1＋r}是等比数列，且a2n＋1＋r＝(a1＋r)2＝(m＋r)2． 为使{a2n＋1＋p}是等比数列，则p＝r． 同理，当m＋r≠0时，a2n＋2r＝(m＋r)2，则为使{a2n＋q}是等比数列，则q＝2r． 综上所述， ①若m＋r＝0，则不存在实数p，q，使得{a2n＋1＋p}与{a2n＋q}是等比数列； ②若m＋r≠0，则当p，q满足q＝2p＝2r时，{a2n＋1＋p}与{a2n＋q}是同一个等比数列． (3)当m＝r＝1时，由(2)可得a2n－1＝2－1，a2n＝2当n＝2k时，an＝a2k＝2 k＋1 nn＋1 nnn－2， －2， Sn＝S2k＝(21＋22＋…＋2k)＋(22＋23＋…＋2k＋1)－3k＝3(2k＋1－k－2)， 所以＝3?1－k＋1?． 2－2 （1－k）2－2 令ck＝k＋1，则ck＋1－ck＝k＋2－k＋1＝<0， k＋2k＋12－22－22－2（2－2）（2－2） Snan?? k?? kk＋1kk＋1 Sn33所以≥，λ≤． an22 当n＝2k－1时，an＝a2k－1＝2－1，Sn＝S2k－a2k＝3(2 kk＋1 －k－2)－(2 k＋1 －2)＝2 k＋2 －3k－4， - 14 - Sn3k所以＝4－k， an2－1 同理可得≥1，λ≤1． 综上所述，实数λ的最大值为1． Snan - 15 -
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