第八章 空间解析几何与向量代数答案
一、选择题
1. 已知A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点，向量AB 的模是（A ） A
5 B 3 C 6 D 9
2. 设a=（1,-1,3）, b=（2,-1,2），求c=3a-2b是（ B ）
A （-1,1,5）. B （-1,-1,5）. C （1,-1,5）. D （-1,-1,6）. 3. 设a=（1,-1,3）, b=（2, 1,-2），求用标准基i, j, k表示向量c=a-b为（A ）A -i-2j+5k B -i-j+3k C -i-j+5k D -2i-j+5k 4. 求两平面x?2y?z?3?0和2x?y?z?5?0的夹角是（ C ）
A
?2 B ?4 C ?3 D ? 5. 已知空间三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B（2，1，2），求∠AMB是（ C） A
?2 B ??4 C 3 D ? x6. 求点M(2,?1,10)到直线L：3?y?1z?22?1的距离是：（ A ）
A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设a?i?k,b?2i?3j?k,求a?b是：（ D ）
A -i-2j+5k B -i-j+3k C -i-j+5k D 3i-3j+3k
8. 设⊿ABC的顶点为A(3,0,2),B(5,3,1),C(0,?1,3)，求三角形的面积是：（ A A
362 B 463 C 23 D 3 9. 求平行于z轴，且过点M1(1,0,1)和M2(2,?1,1)的平面方程是：（ D）
A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D x?y?1?0．
10、若非零向量a,b满足关系式a?b?a?b，则必有（ C ）；
A a?b=a?b； B a?b； C a?b=0； D a?b=．0 11、设a,b为非零向量，且a?b, 则必有（ C ）
A a?b?a?b B a?b?a?b
1
） C a?b?a?b D a?b?a?b 12、已知a=??2,?1,2?,b=?1,?3,2?，则Prjba=（ D ）； A
5； B 5； C 3； D 35． 1413、直线A
x?1y?1z?1??与平面2x?y?z?4?0的夹角为 （B ） ?101????； B ； C ； D ． 634214、点(1,1,1)在平面x?2y?z?1?0的投影为 （A ）
3?1??13??1?1（A）?,0,?； （B）??,0,??； （C）?1,?1,0?；（D）?,?1,??．
2?2??2?2?22?15、向量a与b的数量积a?b=（ C ）.
A a?rjba； B a??rjab； C a?rjab； D b?rjab ． 16、非零向量a,b满足a?b?0，则有（ C ）．
A a∥b; B a??b(?为实数)； C a?b； D a?b?0． 17、设a与b为非零向量，则a?b?0是（A ）．
A a∥b的充要条件； B a⊥b的充要条件;
C a?b的充要条件； D a∥b的必要但不充分的条件． 18、设a?2i?3j?4k,b?5i?j?k，则向量c?2a?b在y轴上的分向量是（B）． A 7 B 7j C –1； D -9k
222??2x?y?4z?919、方程组? 表示 （ B ）.
x?1??A 椭球面； B x?1平面上的椭圆；C 椭圆柱面； D 空间曲线在x?1平面上的投影. 20、方程 x2?y2?0在空间直角坐标系下表示 （C ）.
A 坐标原点(0,0,0)； B xoy坐标面的原点(0,0)；C z轴； D xoy坐标面. 21、设空间直线的对称式方程为 ?x0yz?则该直线必（ A ）. 12A 过原点且垂直于x轴； B 过原点且垂直于y轴； C 过原点且垂直于z轴； D 过原点且平行于x轴. 22、设空间三直线的方程分别为
2
?x?3t?x?2y?z?1?0x?3y?4z?L1:??;L2:?y??1?3t;L3:?,则必有（ D ）.
2x?y?z?0?2?53??z?2?7t?A L1∥L2； B L1∥L3； C L2?L3； D L1?L2.
23、直线
x?3y?4z??与平面4x?2y?2z?3的关系为 ( A )． ?2?73A 平行但直线不在平面上； B 直线在平面上；
C 垂直相交； D 相交但不垂直．
24、已知a?1,b?2,且(a,b)???, 则 a?b= ( D )． 4A 1； B 1?2； C 2； D 5.
25、下列等式中正确的是( C )．
A i?j?k； B i?j?k； C i?i?j?j； D i?i?i?i． 26、曲面x2?y2?z在xoz平面上的截线方程为 (D)．
2??y??z A x?z； B ?； C
??x?0222??x?y?0； D ???z?02??x?z
． ?
??y?0
二、计算题
1．已知M12,2,2，M2?1,3,0?，求M1M2的模、方向余弦与方向角。 解：由题设知
M1M2?1?2,3?2,0?2??1,1,?2, 则
??? M1M2???1?2?12?????2??2?2,
211 co?， s??，cos??，cos???222于是，??2??3?，??，??。 3342．设m?3i?5j?8k，n?2i?4j?7k和p?5i?j?4k，求向量a?4m?3n?p在x轴上的投影及在y轴上的分向量。
解：a?43i?5j?8k?32i?4j?7k?5i?j?4k?13i?7j?15k
故a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j。
3
??????3．在xoz坐标面上求一与已知向量a???2,3,4?垂直的向量。 解：设所求向量为b??x0,0,z0?，由题意，
a?b??2x0?4z0?0
取z0?1，得x0?2，故b??2,01,垂直a。
4．求以A?1,2,3?，B?3,4,5?，C??1,?2,7?为顶点的三角形的面积S。 解：由向量积的定义，可知三角形的面积为S?1AB?AC，因为AB??2,2,?2，2当然任一不为零的数?与b的乘积?b也?与a垂直。
AC???2,?4,4?，所以
ijkAB?AC?222??16,?12,?4?，
?2?44ijk1222于是， S?2?2?44?122162???2????4??269. 25．求与向量a??2,0,1?，b??1,?1,2?都垂直的单位向量。 解：由向量积的定义可各，若a?b?c，则c同时垂直于a和b，且
ic?a?b?21j0k1?i?3j?2k，
?12因此，与c?a?b平行的单位向量有两个：
c??c|c|?a?b|a?b|?i?3j?2k1???3????2?222?1?i?3j?2k?和 14?c??1??i?3j?2k?. 1426．求球面x2?y2?z2?9与平面x?z?1的交线在xoy面上的投影的方程。
解：由x?z?1，得z?1?x，代入x2?y2?z2?9，消去z得x2?y2??1?x??9，即
2x2?2x?y2?8，这就是通过球面x2?y2?z2?9与平面x?z?1的交线，并且母线平行于z
4
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