第6章 逻辑代数基础
6.1对课程内容掌握程度的建议 章 节 6.1概 述 6.2 逻 辑 运 算 6.3 形 式 定 理 6.4 基 本 规 则 6.5 用代数法化简逻辑式 课程内容掌握程度 A B 数字信号，脉冲信号 正逻辑和负逻辑 基本逻辑运算 组合逻辑运算 17个形式定理 代入规则 反演规则对偶规则 展开规则 C 用代数法化简逻辑式 最大项 6.6最小项和最大项 最小项 卡诺图化简法 6.7 卡诺图化简法 6.2 授课的几点建议
6.2.1 基本逻辑关系的描述
基本逻辑关系有“与”、“或”、“非”三种，在本教材中采用文字叙述和常开触点、常闭触点的串、并联等形式来加以描述。还有一种描述逻辑关系的图，称为文氏图（Venn diagram）。图6.1(a)圆圈内是A，圆圈外是A；图6.1(b)圆圈A与圆圈B相交的部分是A、B的与逻辑，即AB；图6.1(c)圆圈A与圆圈B所有的部分是A、B的或逻辑，即A+B。与逻辑AB也称为A与B的交集（intersection）；或逻辑A+B也称为A和B的并集（union）。
AAAABBA+BAB (a) 单变量的文氏图 (b) 与逻辑的文氏图 (c) 或逻辑的文氏图
图6.1 文氏图
6.2.2 正逻辑和负逻辑的关系
正逻辑是将双值逻辑的高电平H定义为“1”，代表有信号；低电平L定义为“0”，代表无信号。负逻辑是将双值逻辑的高电平H定义为“0”，代表无信号；低电平L定义为“1”，代表有信号。正逻辑和负逻辑对信号有无的定义正好相反，就好象“左”、“右”的规定一样，设正逻辑符合现在习惯的规定，而负逻辑正好反过来，把现在是“左”，定义为“右”，把现在是“右”，定义为“左”。关于正、负逻辑的真值表，以两个变量为例，见表6.1。
表6.1 输入变量 输出 正逻辑 负逻辑 A L L H H
B L H L H Y L L L H A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 0 0 1 A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 Y 1 1 1 0 由表6.1可以看出，对正逻辑的约定，表中相当是与逻辑；对负逻辑约定，则相当是或逻辑。所以正逻辑的“与”相当负逻辑的“或”；正逻辑的“或”相当负逻辑的“与”。正与和负或只是形式上的不同，不改变问题的实质。
6.2.3 形式定理
本书介绍了17个形式定理，分成五类。需要说明的是，许多书上对这些形式定理有各自的名称，可能是翻译上的缘故，有一些不太贴切，为此，将形式定理分成5种形式表述，更便于记忆。
所以称为形式定理，是因为这些定理在逻辑关系的形式上虽然不同，但实质上是相等的。形式定理主要用
1
于逻辑式的化简，或者在形式上对逻辑式进行变换，它有以下五种类型：
1．变量与常量之间的关系；2．变量自身之间的关系；3．与或型的逻辑关系；4．或与型的逻辑关系；5．求反的逻辑关系——摩根（Morgan）定理。
6.2.3.1 变量与常量之间的关系
变量与常量之间的关系可分为与逻辑和或逻辑两种形式，共四个。
定理1： A?0 =0 定理2： A+1=1 定理3： A?1 =A 定理4： A+0=A
6.2.3.2 变量自身之间的关系
变量自身之间的关系也可分为与逻辑和或逻辑两种形式，共四个。 定理5： A?A =A 定理6： A+A =A 定理7： A?A=0 定理8： A+A=1
6.2.3.3 与或型和或与型的逻辑关系
与或型和或与型的定理有三对，它们是
定理9： A +A B = A 定理10： A（A + B）= A 定理11： A+AB =A+B 定理12： A（A+B）=AB
定理13： AB+AC+BC =AB+AC 定理14： (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C )
6.2.3.4 求反的逻辑关系
定理15： A?B?A?B 定理16： A?B?A.B 定理17： A?A
以上介绍了十七个形式定理，只须熟记其中的一半，利用对偶规则即可得出另一半。
形式定理的证明一般采用代数法，即用已经被证明的定理去证明那些需要证明的定理；二是所谓的真值法，因为对于双值逻辑系统，每一个逻辑变量只有“0”和“1”，对于2个逻辑变量，只有4种可能，对于3个逻辑变量，只有8种可能，…，所以可以将逻辑变量的真值代入形式定理一一验证。不过变量数较多时也很不方便。利用文氏图也可以证明形式定理，例如摩根定理，图6.2表示了这一过程。
证明A?B?A?B，图6.2(a)是A?B ，正好是图6.1 (b)的反；图6.2 (b)是A； 图6.2 (c) 是B；图6.2 (d)是A?B。图6.2(a)和图6.2 (d)完全一样，由此证明了A?B?A?B
ABABAABABBA+BAB(a) (b) (c) (d)
图6.2 用文氏图证明摩根定理
6.2.4最小项、最大项及其性质
最小项在逻辑函数的变换和化简中具有重要意义，在可编程逻辑器件、半导体存储器中有重要应用。同一逻辑关系的逻辑函数具有多样性，但同一逻辑关系的逻辑函数它都是由若干个最小项构成的，它的多样性实际上是这些最小项的不同组合而已。任一逻辑函数都是若干个最小项之和，即立即函数Y
Y??mi称为逻辑函数的与或标准型。它的对偶式的形式是若干个最大项之积
Y??mi称为逻辑函数的或与标准型。最小项的主要性质如下：
1．当有二进制码输入时，最小项对每一种输入被选中的特点是只有一个最小项是“1”，其余最小项都是
n
“0”，即所谓N（2）中取一个“1”。
2．全部最小项之和恒等于“1”。
m3+m2+m1+m0=1
3．两个最小项之积恒等于“0”。
mimj=0（i?j）
4．若干个最小项之和等于其余最小项和之反。例如：
m1?m2?m0?m3
m0?m1?m2?m35．最小项的反是最大项，最大项的反是最小项。
6．当有二进制码输入时，最大项对每一种输入被选中的特点是只有一个最大项是“0”，其余最大项都是
2
“1”，即所谓N（2n）中取一个“0”。
最大项与最小项有对偶的关系，在性质上也有对偶关系，例如性质1和性质6是对偶关系；性质3，两个最小项之积恒等于“0”，那么，两个最大项之和恒等于“1”，等等，不一一举例。
6.2.5 逻辑函数的化简与变换
6.2.5.1 逻辑函数的化简
逻辑函数的化简是为了在具体实现该逻辑电路时，在硬件上节省集成电路。以与或逻辑式为标准，逻辑式的与项最少，与项中的变量数最少者为最简。实际上因为任何一个逻辑函数都可以转换为与或标准型，即最小项之和的形式。最小项之间以不同的方式搭配，逻辑函数就有不同的形式，造成了逻辑函数的多样性。所以，逻辑函数的化简就是寻找最小项的某一种搭配方式，以获得最简与或式。
逻辑函数的化简一般有两种方法，代数法化简和卡诺图化简。代数法化简就是运用17个形式定理和一些规则、性质对逻辑函数进行化简，这种化简方法称为代数法化简。代数法化简的优点是它的使用不受任何条件的限制，但由于这种方法没有固定的步骤可循，所以在化简一些复杂的逻辑函数时不仅需要熟练地运用各种定理和规则，而且需要有一定的运算技巧和经验。逻辑函数的化简是本章的重点内容。
卡诺图化简法是一种在方格图形上进行最小项重新组合的方法。这种方法简单、直观，而且有一定的化简步骤可循。而且化简过程不易出现差错。变量数在5个以下时，用卡诺图法化简比较实用。
逻辑代数是数字电路的数学工具，涉及数字电子技术的方方面面，例如在数字电路设计和分析时要经常使用各种化简方法，是必须掌握的内容。
6.2.5.2 逻辑函数的变换
用最简与或式实现硬件电路时，往往需要解决一些问题，希望采用同一种逻辑关系的集成电路，以利维修；希望采用与或逻辑关系以外的集成电路，如与非、或非、与或非等器件来实现硬件电路；希望输入没有反变量等等。这就需要进行逻辑函数的变换，现举例说明。
例6.1:将异或函数F?AB?AB用尽可能少的集成电路芯片实现。
解：异或函数F?AB?AB符合与或函数的最简条件，如果将其直接实现，并消除输入反变量，如图6.3所示，需要一片反相器74LS04，一片2输入与门74LS08，一片2输入或门74LS32，共三片集成电路。如果采用与非门，并消除输入反变量，如图6.4所示，只需要一片2输入与非门74LS00，或者使用专门的异或门。
ABBA11&B&1F&AAB&&&F图6.3 图6.4
例6.2：将最简与或逻辑式F?AB?BC用与或非门实现。 解：F?AB?BC?AB?BC
查手册，可以用一片74LS51实现，如图6.5所示。
CA1&1FB“0”&图6.5
关于逻辑函数的变换不一定在课堂上大讲特讲，可以结合实验进行，但是教师要心中有数。
习 题
【6-1】 填空
1．与模拟信号相比，数字信号的特点是它的离散 性。一个数字信号只有两种取值分别表示为0 和1 。 2．布尔代数中有三种最基本运算： 与 、 或 和 非 ，在此基础上又派生出四种基本运算，分别为与非、或非、与或非和异或。
3．与运算的法则可概述为：有“0”出 0 ，全“1”出 1；类似地或运算的法则为 有”1”出”1”，全”0”出”0” 。
4．摩根定理表示为：A?B=A?B ；A?B=A?B。
3
5．函数表达式Y=AB?C?D，则其对偶式为Y??(A?B)C?D。 6．根据反演规则，若Y=AB?C?D?C，则Y?(AB?C?D)?C 。
7．指出下列各式中哪些是四变量A B C D的最小项和最大项。在最小项后的（ ）里填入mi，在最大项后的（ ）里填入Mi，其它填×（i为最小项或最大项的序号）。 (1) A+B+D (× )； (2) ABCD (m7 )； (3) ABC ( × )； (4)AB(C+D) (×)； (5) A?B?C?D (M9 ) ； (6) A+B+CD (× ); 8．函数式F=AB+BC+CD写成最小项之和的形式结果应为式结果应为
?m(3,6,7,11,12,13,14,15),写成最大项之积的形
?M( 0,1,2,4,5,8,9,10 ) 9．对逻辑运算判断下述说法是否正确，正确者在其后（ √ ）内打对号，反之打×。 （1） 若X+Y=X+Z，则Y=Z；( × ) （2） 若XY=XZ，则Y=Z；( × ) （3） 若X?Y=X?Z，则Y=Z；(√ )
10．已知有四个逻辑变量，它们能组成的最大项的个数为 16 个 ，这四个逻辑变量的任意两个最小项之积恒为 “0 ” 。
【6-2】用代数法化简下列各式
(1) F1 =ABC?AB=1 (2) F2 =ABCD?ABD?ACD=AD
(3) F3 =AC?ABC?ACD?CD=A+CD
(4) F4 =A?B?C?(A?B?C)?(A?B?C) =A?BC
(5) F5=AC?AB?BCD?BEC?DEC=AB?AC?BD?EC (6) F6 =AB?CD?ABC?AD?ABC=A?BC?CD
(7) F7 =AC?AB?BCD?BD?ABD?ABCD=A?BD?BD (8) F8 =AC?AC?BD?BD=ABCD?ABCD?ABCD?ABCD (9) F9?(AB?AB?AB)(AB?CD)= BCD?ACD
(10) F10?ABC?CD?BD?C=A?D?B?C 【6-3】 用卡诺图化简下列各式
(1) F1 =BC?AB?ABC=AB?C (2) F2 =AB?BC?BC=A?B
(3) F3=AC?AC?BC?BC=AB?AC?BC或AB?AC?BC (4) F4 =ABC?ABD?ACD?CD?ABC?ACD=A?D (5) F5 =ABC?AC?ABD=AB?AC?BD (6) F6=AB?CD?ABC?AD?ABC=A?BC?CD
(7) F7 =AC?AB?BCD?BD?ABD?ABCD=A?BD?BD (8) F8 =AC?AC?BD?BD=ABCD?ABCD?ABCD?ABCD (9) F9 =A(C?D)?BCD?ACD?ABCD=CD?CD
(10) F10=AC?AB?BCD?BEC?DEC=AB?AC?BD?EC
BCA0100110111101BCA010010111111101111 (1) (2)
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