欧阳治创编 2021.03.10 欧阳治
创编 2021.03.10
辅助圆的应用
时间2021.03.10 创作：欧阳治 【学习目标】1、熟练掌握利用圆构造等腰三角形和直角三角形；
2、学会在恰当的时候利用圆为辅助线解决实际问题.
【重点难点】利用圆为辅助线解决实际问题. 【学习过程】
一、
利用“两圆一中垂线”构造等腰三角形
如图，已知抛物线y?ax2?bx?3（a≠0）与x轴交
于点A(1，0)和点B(－3，0)与y轴交于点C． (1)抛物线的解析式为；
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CAP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
二、
利用“两垂线一圆”构造直角三角形
如图，已知抛物线y?ax2?bx?3（a≠0）与x轴交于
点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△CBQ是
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直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
三、
利用圆求线段的最值
1. 如图①，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点E是AD边的中点，F是CD上的动点，将△DEF沿EF折叠，点D落在P处,则线段BP最短时的长度为.
2. 如图②，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB=1，以AC上动点O为圆心，以AO为半径D作圆OC，交AC于点DD，连接BD交圆O于点CE，BFPE图①
BAAPOEO则CE的最小值为
图② 图③
3.如图③，⊙O的半径为5，OP=3，经过点P的最长弦为，最短弦为.
四、
三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆
如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=2，
AB=AC=AD=4．则BD的长为.
五、
四点共圆时作辅助圆
1. 如图①，在△ABC中， BE和CD分别是AC和AB边上的高，连接DE，△ADE与四边形DBCE的面积比为1:8，则sinA=.
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DADAE2.如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,∠ACB=30°,在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CACD=45°，若BD=8，则AB=. 图①
BB图②
C思考：如何判断四点共圆？
六、
利用圆的切线性质作辅助圆
如图，在平面直角坐标系内A（8,0），B（0,6），若直线L与AB平行，且在直线L上有且只有一点P使∠OPA=90°，求满足条件的直线L的解析式.
七、
利用圆构造相等角（课后拓展）
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C（0，2），连接AC、BC．
（1）BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，则直线DE的解析式为；
（2）若点P在抛物线的对称轴上，且
∠CPB=∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标． 25. 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，
AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角
板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点
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