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专题类型突破
专题五 二次函数综合题
类型一 线段、周长问题
(2018·宜宾中考改编)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1
1)，如图，直线y＝x与抛物线交于A，B两点，直线l为y＝－1.
4(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴上是否存在一点M，使点M到点A，B的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在l上是否存在一点P，使PA＋PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)设点S是直线l的一点，是否存在点S，使的SB－SA最大，若存在，求出点S的坐标．
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【分析】 (1)设顶点式y＝a(x－2)，将点(4，1)代入即可求a的值，得出抛物线的解析式；
(2)联立直线AB与抛物线解析式得到点A与点B的坐标，设出点M的坐标为(0，m)，利用等式MA＝MB，求出点M的坐标；
(3)利用最短线段思想，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA＋PB取得最小值．求出直线AB′解析式后，联立直线l得出点P坐标；
(4)由最短线段思想可知，当S，A，B三点共线时，SB－SA取得最大值． 【自主解答】
教案试题
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1．(2018·广西中考)如图，抛物线y＝ax－5ax＋c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A(－3，0)，C(0，4)，点B在x轴上，AC＝BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM＝BN，连接MN，AM，AN. (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标； (3)试求出AM＋AN的最小值．
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类型二 图形面积问题
(2018·菏泽中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax＋bx－5交y轴于点A，交x轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D. (1)求此抛物线的解析式； 教案试题
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(2)点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；
(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．
【分析】 (1)根据题意可以求得a，b的值，从而可以求得抛物线的解析式； (2)根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离，从而可以求得△EAD的面积；
(3)根据题意可以求得直线AB的函数解析式，再根据题意可以求得△ABP的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题． 【自主解答】
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2．如图，已知抛物线y＝x＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(－9，10)，AC∥x轴，
3点P是直线AC下方抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； 教案试题
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(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三 抛物线上架构的三角形问题
(2018·怀化中考改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
(3)试探究：①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②在数轴上是否存在点M，使得△ACM是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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教案试题
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