x2y2若椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，F1、F2是它的左、右焦点，椭圆C过点(0,1)，且离心率
ab22为e?．
3（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左右顶点为A、B，直线l的方程为x?4，P是椭圆上任一点，直线PA、PB分别交
直线l于G、H两点，求GF1?HF2的值；
（Ⅲ） 过点Q(1,0)任意作直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，与y轴交于R点
RM??MQ，RN??NQ．
证明：???为定值．
yMPBF1QF2NRHxGA7y0yx265?y2?1（2）设p(x0,y0)，则G(4,解：（1）)，H(4,0)GF1?HF2= 99x0?3x0?3（3）设M(x1,y1)，N(x2,y2),R(0,t)由RM??MQ得(x1,y1?t)??(1?x1,?y1)
??x???11??(???1)代入椭圆方程得 ?2?9t2?9(1??)2 ① 所以??y?t1?1???同理由RN??NQ得??9t?9(1??) ② 由①-②得?????
2229 4
圆锥曲线定点定值·专题研究
（南京市2015届高三年级第三次模拟考试数学试题第18题，本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线l：x＝m＋1与x轴的交点为B，且BF2＝m．
6
（1）已知点(2，1)在椭圆C上，求实数m的值； （2）已知定点A(－2，0)．
TA
①若椭圆C上存在点T，使得TF＝2，求椭圆C的离心率的取值范围；
1
y M Q l A P F1 O F2 （第18题图）
②当m＝1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q， →→→→若AM ＝λAP，BM＝?BQ，求证：λ＋?为定值．
2???a2＝m＋1，?a＝m＋1，
18．解：（1）设椭圆C的方程为 a2＋b2＝1(a＞b＞0)．由题意，得?c 解得?b＝m，
?(m＋1)－c＝m，???c＝1．
2
x2y2
x2y26311
所以椭圆方程为＋m＝1．因为椭圆C过点(2，1)，所以＋m＝1，解得m＝2或m＝－2
m＋12(m＋1)
(舍去）．
所以m＝2． 4分
TA
（2）①设点T(x，y)．由TF＝2，得(x＋2)2＋y2＝2[(x＋1)2＋y2]，即x2＋y2＝2． … 6分
1
22
y＝2，??x＋132
y2由?x得y2＝m2－m．故0≤m2－m≤m，得1≤m≤2．所以椭圆C的离心率e＝∈[3，＋＝1，m＋1??m＋1m2
2]．10分
??②（方法一）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．则AM＝(x0＋2，y0)，AP＝(x1＋2，y1)．
?x0＋2＝(x1＋2)，?x0＝x1＋2(－1)，??由AM＝AP， 得 ? 从而? …… 12分
?y0＝y1．?y0＝y1．[x1＋2(－1)]2x02x12
222
因为2＋y0＝1，所以＋(y1)＝1．即(2＋y12)＋2(－1)x1＋2(－1)2－12＝0．
x12
因为 2＋y12＝1，代入得2 (－1)x1＋32－4＋1＝0．由题意知，≠1，
3－1－3－＋3－3－＋3
故x1＝－，所以x0＝2． 同理可得x0＝2．…… 14分因此2＝2，所以λ
2
＋?＝6． 16分
y0
（方法二）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．直线AM的方程为y＝(x＋2)．
x0＋2
y0x2212222
将y＝(x＋2)代入2＋y＝1，得(2(x0＋2)2＋y0)x＋4y0x＋4y0－(x0＋2)2 ＝0(*)．
x0＋2
23xx020＋4x022
因为2＋y02＝1，所以（*）可化为(2x0＋3)x2＋4y0x－3x0－4x0＝0．因为x0x1＝－，所以x1＝
2x0＋3
－3x0＋4
． 2x0＋3
3x0－4??→→同理x2＝． 14分因为AM＝AP，BM＝BQ，
2x0－3
x0＋2x0－2x0＋2x0－2(x0＋2)(2x0＋3)(x0－2)(2x0－3)
所以λ＋?＝＋＝＋＝＋＝6．即λ＋?为定
x1＋2x1－23x0＋43x0－4x0＋2－x0＋2
－＋2－22x0＋32x0－3
值6． 16分
圆锥曲线定点定值·专题研究
(2014·苏北三市模拟)
x2y26??
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点?2，?.
ab2??
(1)求椭圆E的方程．
(2)若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，
直线AP交l于点M.
①设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；
②设过点M垂直于PB的直线为m，求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．
23
2．解：(1)由题意得2c＝2，所以c＝1.又2＋2＝1，消去a得2b4－5b2－3＝0，解得b2＝3或b2＝
a2b
1
－(舍去)，则a2＝4， 2
x2y2
所以椭圆E的方程为＋＝1.
43
y0y1
(2)①设P(x1，y1)(y1≠0)，M(2，y0)，则B(2,0)，k1＝，k2＝，因为A，P，M三点共线，所以y0
2x1－2＝，
x1＋2
所以k1k2＝＝.因为P(x1，y1)在椭圆上，所以
2
2?x1－2?2?x1－4?为定值．
y0y1
4y21
y21＝
34y2312(4－x1)，所以k1k2＝＝－，
422?x21－4?
4y1
2－x12－x1
②直线BP的斜率为k2＝，直线m的斜率为km＝，则直线m的方程为y－y0＝(x－2)，
y1y1
x1－2
y1
22
2－x12－x12?2－x1?4y12－x12?x1－4?＋4y22－x12?x211－4?＋12－3x1y＝(x－2)＋y0＝x－＋＝x＋＝x＋ y1y1y1y1y1
x1＋2?x1＋2?y1?x1＋2?y1
2－x12－x12－x1
＝x＋＝(x＋1)，所以直线m过定点(－1,0)．
y1y1y1
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