教 学 设 计
第六章 微分中值定理及其应用
§1 拉格朗日定理和函数的单调性
题目：罗尔定理与拉格朗日定理 一、教学目的：
1.
知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。 2.
能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。 3.
情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。
二、教学重点与难点：
1. 重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的
高。
2. 难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别
与联系。
三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法 四、教学手段：板书与课件相结合 五、教学基本流程：
知识回顾
引出定理，探究案例 类比学习，理解定理 1
六、教学
升华、理解新知 课堂小结作业 情境设计（1学时）：
1、知识回顾
费马定理：设函数f(x)在x0的某领域内有定义，且在x0可导。若x0为f的极值点，则必有f(x0)??0。它的几何意义在于：若函数f(x)?在x?x0可导，那么在该点的切线平行于x轴。
2、引出定理，探究案例
微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。
定理6.1 (罗尔(Rolle)中值定理) 若函数f满足如下条件：
(i)f在闭区间?a,b?上连续； (ii)f在开区间?a,b?内可导； (iii)f?a??f?b?，
则在?a,b?内至少存在一点?，使得
f?????0 . ?1?
罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．
2
证 因为f在?a,b?上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况来讨论：
(1)若m?M，则，f在?a,b?上必为常数，从而结论显然成立．
(2)若m?M，则因f?a??f?b?，使得最大值M与最小值m至少有一个在?a,b?内某点?处取得，从而?是f的极值点．由条件(ii)，f在点?处可导，故由费马定理推知
f?????0．
注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图6—2)。
3
例1 设f为R上可导函数，证明：若方程f??x??0没有实根，则方程
f?x??0至多有一个实根．
证 这可反证如下：倘若f?x??0有两个实根x1和x2(设x1?x2)，则函数f在
?x1,x2?上满足罗尔定理三个条件，从而存在???x1,x2?，使f?????0，这与f??x??0的
假设相矛盾，命题得证．
3、类比学习，理解定理
定理
6.2 (拉格朗日(Lagrange)中值定理) 若函数满足如下条件：
?i?f在闭区间?a,b?上连续；
?ii?f在开区间?a,b?内可导， 则在?a,b?内至少存在一点?，使得
f?b??f?a? f?????. ?2?
b?a
显然，特别当f?a??f?b?时，本定理的结论(2)即为罗尔定理的结论(1)．这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形．
证 作辅助函数
F?x??f?x??f?a??f?b??f?a??x?a?． b?a显然，且F在?a,b?上满足罗尔定理的另两个条件．故存在??(a,b), 使 F?a??f?b???0?，
F?(?)?f?(?)?f(a)?f(b)?0
b?a4
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