固结理论研究综述

其中，土层沉积厚度变化有两种情况，

前者有解析解，Gibson(1958)对此已给出详细解答［5］；后者只有数值解。 3.变形指标随深度变化

令△P=0, H＝常量，固结微分方程可以由普遍方程得到：

（1-6）

并且，

显然，求解复杂条件下的固结微分方程较为困难。当不能用解析法求得解答时，可以考虑采用差分法、半解析法等。

1.2.2 Terzaghi固结理论研究现状

多年来，一维固结理论获得了较大进展，研究方向侧重于对Terzaghi基本假设的修正。例如，考虑土的有关性质指标在固结过程中的变化，压缩土层的厚度随时间改变，非均质土的固结以及固结荷重为时间的函数等。这些修正，使得计算模型能更准确的反映土体的固结过程。

Terzaghi固结理论是建立在土体为线弹性变形的假定条件下的，而实际土体通常为非线性变形体。Gibson等人(1967)提出了一维有限非线性应变固结理论［6］，它考虑了土体压缩性和渗透性与孔隙比的非线性变化，以及土体自重应力等方面的因素。Gibson和Schiffman等人(1981)用有限非线性应变固结理论分析厚层粘土的固结过程时发现，如果考虑土体的非线性，则求得的同一层土的固结速率比用Terzaghi理论推求的要快［7］。窦宜、蔡正银等人(1992)曾对Gibson建立的一维有限非线性应变固结理论得出了简化条件下的解析解［8］。 Gray［9］早在1945年即给出一维固结成层地基在瞬时加荷条件下的解析解。Schiffman and Stein［10］试图通过引用经典的Terzaghi固结理论来模拟成层体系。谢康和［11］［12］ 求解出变荷载下任意层地基一维固结问题完整的解析解，从而使成层地基固结理论趋于完善。但是这些解析解很复杂，因此在实际设计中很少采用。计算成层地基平均固结度U现有简化方法有加权固结系数法和平均指标法。

Wilson(1974),Baligh(1978)等基于Terzaghi理论对矩形波载情况作了详尽的分析［14，15］，吴世明等(1988)推导了以积分形式表达的任意荷载的一维固结方程的通解［16］，这些都是针对单层弹性地基情况，蔡袁强等（1998）推导了弹性多层地基在循环荷载下的一维固结方程通解［17］。

当固结应变达到40%以上时Terzaghi一维固结理论的小应变假定不再适用，一维大变形固结理论始于1960年，Mikasa［18］和Gibson［7］被认为是这一领域的开拓者，他们都致力于把小变形固结理论推广到更普遍的大变形固结理论。大变形固结理论沿着两个方向发展，一方面，基于Mikasa和GIibson等人的理论，进行理论的完善和数值求解及试验验证；另一方面，随非线性连续介质力学的发展，建立在其基础之上的有限元分析也不断取得进展［19]。Olson and Ladd（1979）指出，一维固结微分方程进行差分求解时，如果考虑土层厚度的变化就可以自动处理大变形固结问题［20］。

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1.2 Biot固结理论

Biot(1941)考虑了固结过程中孔隙压力和骨架变形之间的依赖关系，根据有效应力原理、土的连续条件和平衡方程，提出了Biot固结理论［21］，并求得条形荷载下半无限地基固结问题的解答［22］。Biot固结理论与Tezaghi-Rendulic固结理论的主要区别在于［23］,前者考虑了固结过程中土体平均总应力随时间的变化，而后者则假定在固结过程中土体平均总应力保持不变。Cryer (1963)在Mandol (1953)的研究基础上，采用球状试样的固结试验发现了Mandol-Cryer效应，并被Gibson (1963)和De.Jong (1965)的所证实，Terzaghi-Rendulic理论中未显示出此效应，而Biot固结理论则能描述这种现象。

显然，Biot理论比Tezaghi固结理论及能更合理地反映土体的固结过程，但Biot理论理论的设计参数较多，由于岩土材料的复杂性，准确确定这些参数比较困难，按Biot方程求解固结问题的精确解相当麻烦，目前所见的Biot解析解只是在若干特殊情况下求得的。因此，通常须用有限元等数值方法求解，而计算结果是否合理在很大程度上仍依赖于计算参数的取值，这些都限制了Biot固结理论在工程上的应用。近十年来，电子计算机技术和有限元法的发展为Biot固结理论的应用提供了条件，使处理非均质材料、非线性应力-应变关系以及复杂的边界条件成为可能。

1.2.1 Biot固结方程

Biot从较严格的固结机理出发推导了准确反映孔隙压力消散与土骨架变形相互关系的三维固结方程，其基本假定为： 1.土骨架变形是线弹性的； 2.变形为小变形；

3.土颗粒与孔隙水均不可压缩； 4.孔隙水渗流符合达西定律。

在土体中取一微分体，若体积力只考虑重力，Z坐标向上为正，压力以压为正，则三维平衡微分方程为：

（1-7）

式中，r为土的容重，应力为总应力。根据有效应力原理：

（1-8）

上式可写为：

（1-9）

根据基本假定1，得到其物理方程为：

6

（1-10）

G ，?剪切弹性模量与泊松比。 根据基本假定2得到其几何方程为：

（1-11）

式中,w表示位移。应力应变符号在土力学中习惯以压为正，以拉为负，故上式与一般弹性力学中几何方程的符号相反。

将式(1-11)代入式(1-10)，再代入式(1-9),就得到以位移和孔隙压力表示的平衡微分方程:

（1-12）

式中：?— Laplace算子。

此外，根据达西定律和饱和土的连续性得到以位移和孔压表示的连续性方程：

2 （1-13）

饱和土体中任一点的孔隙压力和位移随时间的变化，须同时满足平衡方程(1-12)和连续性方程(1-13)，将两式联立起来，就是比奥固结方程。它包括四个偏微分方程，也含四个未知数u，wx ，wy ，wz ，它们都是坐标x，y，z和时间t的函数。

要求解出这些微分方程组，在数学上是困难的。只有在特定的初始条件和边界条件下，如轴对称和平面应变中某些简单情况，才能推导出解析解。

1.2.2 Biot固结理论解析解研究现状

1960年Mc Namee和Gibson引入位移函数并利用Laplace变换与Hankel变换求解了轴对称荷载作用下单层地基的Biot固结问题［24］。

R.E.Gibson，J.R.Booke获得了有限厚地基表面沉降的复变函数固结解［25］［26］。 Schiffman等人得到了空间一般荷载下单层地基的三维Biot固结解。Vardoulakis（1986）等人应用Mc Namee等人提出的位移函数求解了多层地基的三维Biot固结问题［27］。

Booker and Small(1987)两人按类似于矩阵位移法的思路求解了多层地基的二维和三维Biot固结问题[28]，至此Biot固结问题得到了解答。

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黄传志等（1996）在假定下卧层是刚性的硬卧层的条件下，求得有限地基固结的全部解答［29］。

1.2.3 Biot固结理论的数值研究现状

由上可见，要求解出Biot固结微分方程组，在数学上是困难的，只有在特定的初始条件和边界条件下，才能推导出解析解，因此，限制了固结问题在工程中的应用。随着计算技术的发展，固结理论才重现出生命力，并应用于工程实践。固结理论的数值分析方法主要有以下几种：差分方法、有限单元法、边界元法、加权残值法、半解析方法、有限层法等。现分述如下：

1.差分方法

差分方法是将研究区域用差分网格加以离散，用差分公式近似代替所求解微分方程中的导数，从而得到差分方程。差分方程代表一代数方程组，以恰当方式求解后即可获得所研究课题的数值解。

赵维炳、钱家欢(1985)采用中心差分的形式对比奥固结问题进行了求解［30］。但由于差分法要求网格的规则性等，目前在固体力学领域应用受到了一定的限制，主要集中在对时间域的处理上。

2.有限元方法

有限单元法是以研究区域的变分形式，离散所研究的区域，成为有限数目的单元。

Sandhu，Wilson (1969) 首先提出用有限元来求解Biot固结方程［31］。Sandhu等对位移取二次插值模式，对孔隙水压力则取线性模式，应用变分原理推出了Biot固结理论的有限元方程。终于使冷落了近30年的Biot固结理论重新引起人们的注意，使其在实工际程中发挥作用。

Christian等人(1970)应用虚功原理也推出了Biot固结理论的有限元方程［32］。

J.C. Small& J.R. Booker等采用拉普拉斯变换推导了Biot固结理论的有限元方程(1975) ［33］，并证明了该方法的收敛性(1977)［34］。

Christian and Bochmer（1979）年结合有限元和有限差分法求解了Biot固结方程。

S. Nishizaki，I.Saito, A.Ohiro等(1982)对有限元计算时所采用的各种单元形态进行比较，得出采用四边形单元可使得孔压和位移计算均较高的结论［35］。

F. Zhou&W. Wittke (1997)将修正剑桥模型，推广到三维(Cam3D )，将其应用到固结分析，并对两个圆形基础的相互作用进行了分析［36］。

国内这方面研究的发展也很快：

沈珠江(1977)首先把Biot固结理论的有限单元法应用于固结分析，其中对位移和孔隙水压力都取线性模式，应用变分原理得到Biot固结理论的有限元方程，用以计算软土地基的变形［37］。

殷宗泽等(1978)根据流量平衡概念，结合虚位移原理也得到了类似的方程，以分析饱和粘土的平面固结问题［38］。

龚晓南(1984)采用等价结点流量等于等价结点压缩量的粘土饱和条件推导出Biot固结理论的连续方程，并与考虑K0固结的非线性本构模型结合起来分析了油罐地基的沉降［39］。

余志顽、赵维炳等将Biot固结理论推广到粘弹-粘塑性问题，采用有限单元法求解粘弹一粘塑性比奥固结问题［40］。

其它将各种土体的本构关系应用于Biot固结理论，采用有限单元法求解固结问题，多不胜数。总之，近几年来，国内外根据Biot固结理论，应用有限元法求解地基固结问题得到愈来愈广泛的应用，产生了很好的社会和经济效益，有力地推动了土力学这一技术学科的发展。但由于三维问题的复杂性(网格复杂、自由度成数量级的增加)和计算机容量、耗时的限制等，目前三维比奥固结问题虽有些报道，但离实用尚有很大的距离。顺便指出的是，大连理工大学在固结问题有限元求解方法上，提出了参数二次规划理论和异步并行计算方法等，为有限元求解Biot固结问题提供了新的求解途径［41，42］。

3.有限层法

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